高二数学--双曲线和抛物线的标准方程及几何性质.docVIP

第 第 PAGE \* MERGEFORMAT 2 页 共 NUMPAGES \* MERGEFORMAT 15 页 第 第 PAGE \* MERGEFORMAT 1 页 共 NUMPAGES \* MERGEFORMAT 15 页 双曲线和抛物线的标准方程及几何性质 【考点一：双曲线的定义与标准方程】 1. 双曲线定义 平面内与两个定点的距离之差的绝对值为常数的动点的轨迹叫双曲线，其中两个定点叫双曲线的焦点. 当时， 的轨迹为双曲线 ； 当时， 的轨迹不存在； 当时， 的轨迹为以为端点的两条射线 当没有绝对值时，表示双曲线的一支或一条射线. 2. 双曲线的标准方程 i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：. 3.求双曲线的标准方程的方法 有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤同椭圆的求法是相同的 （1）作判断（2）设方程：（3）找关系（4）解方程 4.焦点位置的判断 由，分母的符号决定，焦点在分母为正的坐标轴上.例如双曲线， 当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线. 【例1】已知，,一曲线上的动点P到、距离之差为6，则双曲线的方程为 ______. 【解析】，的轨迹是双曲线的右支.其方程为 【课堂练习】 1.设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围. 【解析】设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，即y=±2x（x≠0）. ① 因此点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN|||MN|=2. ∵||PM|－|PN||=2|m|0，∴0|m|1. 因此点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上. 故－=1. ② 将①代入②，并解得x2=， ∵1－m20，∴1－5m20.解得0|m|， 即m的取值范围为（－，0）∪（0，）. 【例2】根据下列条件，求双曲线方程： （1）与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）； （2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）. 【解析】（1）设双曲线的方程为－=1， 由题意，得， 解得a2=，b2=4， 所以双曲线的方程为－=1. （2）设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2. 又双曲线过点（3，2），∴－=1. 又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8， 故所求双曲线的方程为－=1. 【课堂练习】 2.给出问题：F1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由，即，得|PF2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.______________________________________________. 【解析】易知P与F1在y轴的同侧，|PF2|－|PF1|=2a，∴|PF2|=17. 【考点二：双曲线的几何性质】 1. 双曲线的方程与几何性质： 标准方程 性 质 焦点 ， 焦距 范围 顶点 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 离心率 渐近线 2.与双曲线共渐近线的双曲线系方程为： 与双曲线共轭的双曲线为 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为，离心率为. 【例3】已知双曲线的一条渐近线方程是y=，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】依题意知，所以双曲线的方程为 【课堂练习】 3.已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________. 【解析】由双曲线的几何性质，知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点， 所以圆C的圆心的横坐标为4. 故圆心坐标为（4，±）.易求它到双曲线中心的距离为. 【例4】已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为__________. 【解析】 双曲线上存在一点P使，等价于 【课堂练习】 4.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：， 则一个焦点为一条渐近线斜率为，直线的斜率为： ，，即，解得. 5.P是双曲线左支上的一点，分别是左、右焦点，且