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第三章 第一节 一、罗尔( Rolle )定理 罗尔( Rolle)定理 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 2) 定理条件只是充分的. 3) Rolle定理实质上是符合某种条件的“中间值ξ的 例1. 证明方程 二、拉格朗日中值定理 5) 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 例2. 证明等式 例3. 证明不等式 三、柯西(Cauchy)中值定理 证: 作辅助函数 柯西定理的几何意义: 例4. 设 例5. 试证至少存在一点 例5. 试证至少存在一点 内容小结 思考与练习 2. 设 3. 若 4. 思考: 在 6. 7. 费马(1601 – 1665) 拉格朗日 (1736 – 1813) 柯西(1789 – 1857) * 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用 一、罗尔( Rolle )定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 微分中值定理 第三章 费马(Fermat)引理 且 存在 证: 设 则 费马 目录 上页 下页 返回 结束 证毕 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不妨设 则至少存在一点 使 注意: 1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 则由费马引理得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 使 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且 在( a , b ) 内至少存在一点 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的存在性”定理. 但没有给出确定中间值ξ的具体方法. 而对于一些特殊的函数, 定理中ξ也是可以确定的. 例如, 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证: 问题转化为证 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . 拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 定理的另一种表达形式: 可写成 因此定理结论可写为: 存在 使得 (整体性质)与 f (x)在(a , b)内某点导数 3) 定理证明方法: 辅助函数法是一种重要的解题方法. 2) 定理建立了 f (x) 在 [a , b] 上的平均变化率 辅助函数也可构造为: 4) 定理条件是充分的, 而非必要的. (局部性质)之间的联系. 推论: 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得 由 的任意性知, 在 I 上为常数 . 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 自证: 经验: 欲证 时 只需证在 I 上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 设 中值定理条件, 即 因为 故 因此应有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例. 证明不等式: 自证 分析: 及 (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点 使 满足 : 要证 柯西 目录 上页 下页 返回 结束 且 使 即 由罗尔定理知,