高等数学 同济版 上册 1-2数列的极限 课件.pptVIP

* 1.邻域: 复习 3.复合函数 y= f(u)， u=φ(x) 2.点x0的去心的 邻域 （重点在分解） 分解方法：从外到内. 求复合函数的方法： 消u. 消中间变量. * 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数 4.基本初等函数： 5.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次 的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 统称为基本初等函数. 注意：分段函数不一定是初等函数. * 1-2 数列的极限 一、数列极限的定义 1、数列的概念： 数列：按照某一法则，对每个n∈N+，对应着一个确定的 实数xn,这些实数按照下标从小到大的顺序排列起来的一列数 * 对于数列 当 时， 数列 无限接近 于一个确定的常数a ， 记作： 或者记为： 当 时， 或者记为 则常数a叫数列 的极限. 或者说数列 收敛于 如：当 时, 2、数列极限的描述性定义： * 当n无限增大时, xn无限接近于a 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 因此, 如果 n 增大到一定程度以后, 于常数a, 则数列{xn}收敛a. ?当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . ?当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, ?当n增大到一定程度以后, 任意小的正数. 的任意小的正数, 要多小就能有多小. |xn-a|能小于事先给定的 则当n无限增大时, xn无限接近于常数a. |xn-a|能小于事先给定 * 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它? 或者记为 由于 给定 由 只要 时， 有 给定 只要 时， 有 给定 只要 时， 有 给定 只要 时， 有 成立. 如：当 时, * 3、数列极限的精确性定义 定义： 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 正数 , 不等式 都成立, 那末就称常数 a是数列 的极限, 记为 或者记为 当 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 或者称数列 收敛于a. 使得对于 时的一切 , 总存在 使 时， 恒有 记 表示每一个或任给的； 表示至少有一个或存在. * 使 时， 恒有 其中 几何解释: 1）在 外， 2）在 内， 表示每一个或任给的； 表示至少有一个或存在. 当nN时， 所有的点 都落在 内， 只有有限个（至多只有N个）落在其外. 有有限个点（最多N个）： 有无限个点； * 注意： * * 证 所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 任给 对于一切正整数n, 成立， 例1 设 (C为常数),证明 * 例2 证 证明 任给 要使 只需 或 即 则当nN时， 就有 即 * 只需 例3 设 证明等比数列 的极限为0. 证： (设 要使 两边取自然对数得 取 则当 时， 有 成立， 即 例4: P27例2 练习: P31, 3(1)、(2), 2 * 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 求N的方法： 由 解出n, 寻找N. 但不必要求最小的N. 再进行取整即得一个N. * 二、收敛数列的性质 1.极限的唯一性 则它的极限唯一 定理1 如果数列 收敛， 证： 用反证法 假设同时有 且 则 使得当 时， 恒有 时， 恒有 取 则 时， * 则 即 这是不可能的， 故收敛数列极限唯一. 2.极限的有界性 对数列 若存在正数M， 使得一切 都满足不等式 则称数列 有界. 否则称它无界. 有界性定义： 时， * 定理2 如果数列 收敛， 则该数列一定有界 . 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 注意： 有界数列不一定收敛，但收敛必有界. * 例5 证明数列 是发散的. 设 由定义得 证： 若它收敛，则极限唯一. 则 成立， 有 当 时， 即 这是不可能的， 所以该数列发散. 因为 时， 无休止的一再重复取得1和-1 这两个数， 而这两个数不可能属于长度为1的开区间 内， * 3、收敛数列的保号性 定理3 证 由定义, 实际是保号性定理的逆否命题. 同理可证 的情况. 推论 若数列 从某项起有 (或 且 则 (或 * 4.收敛数列与子数列的关系 注意： 例如， 子数列定义： 在数列 中任意抽取无限多项并保持 这些项在原数列 中的先后次序， 这样得到的一个数 列称为原数列 的子数列 (或子列). 在子数列 中， 一般项 是第k项， 而 在原数列 中却是第 项， 显然， * 定理4 收敛数列的任一子数列收敛，且极限相同． 证 证毕． 说明 * 注意： 对数列增删有限项,不影响数列极限的存在性, 也不影响极限值. 小结 使 时， 恒有 收敛数列的性质： 预习：从31页到37页 (1)唯一性