函数方程与零点(精).docVIP

第 第 PAGE \* MERGEFORMAT 1 页 共 NUMPAGES \* MERGEFORMAT 10 页 函数的零点 .【高考考情解读】常考查：1.结合函数与方程的关系，求函数的零点．2.结合根的存在性定理或函数图像，对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断．3.判定函数零点(方程的根)所在的区间．4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围．高考题突出数形结合思想与函数方程思想的考查，以客观题的形式为主． 函数与方程的关系：函数f(x)有零点?方程f(x)＝0有根?函数f(x)的图象与x轴有交点?f(x)与g(x)有交点?f(x)=g(x)． 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图像与函数y＝g(x)的图像交点的横坐标． (2)函数f(x)的零点存在性定理：如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0. 注：①如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f(a)·f(b)0时，函数f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使f(c)＝0. ②如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点． ③如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间(a，b)内有零点时不一定有f(a)·f(b)0，也可能有f(a)·f(b)0. 判定函数零点的方法:①解方程法；②利用零点存在性定理判定；③数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解． (2013·重庆)若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) (a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 (2)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ln x－x2＋2x?x0?，,2x＋1?x≤0?，))的零点个数是 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)由于abc，所以f(a)＝0＋(a－b)(a－c)＋00，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0.因此有f(a)·f(b)0，f(b)·f(c)0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A. (2)依题意，当x0时，在同一个直角坐标系中分别作出y＝ln x和y＝x2－2x＝(x－1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x≤0时，作出y＝2x＋1的图象，可知它和x轴有一个交点．综合知，函数y＝f(x)有三个零点． (1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解． (2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标． (1)(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________. 答案　(1)B　(2)－1 解析　(1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f′(x)＝2xln 2＋3x20， 所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增， 且f(0)＝1＋0－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10， 所以有1个零点． (2)f(x)＝ax＋x－b的零点x0就是方程ax＝－x＋b的根． 设y1＝ax，y2＝－x＋b， 故x0就是两函数交点的横坐标，如图， 当x＝－1时，y1＝eq \f(1,a)＝log32y2＝1＋b＝1＋log32， ∴－1x00，∴n＝－1. (2013·青岛模拟)函数f(x)＝log2x－eq \f(1,x)的零点所在