多元函数积分的统一描述.docVIP

多元函数积分的统一描述 1、定义 设函数在某个可度量的点集（直线段、平面、立体、弧段、曲面）上有定义且有界，将任意细分成个可度量的子集（同时又表示该子集的度量），在每个子集上任取一点，做和式，记所有子集的直径最大者为，若无论对如何分法，点如何取法，当时，上述和式恒有同一极限，则称此极限为函数在点集上的积分，记作，即，其中表示积分域，表示被积函数。 2、积分存在定理 若是可度量的连通集，函数在上连续且有界，则积分存在。 3、性质 （1）、线性性质。若为常数，则有 。 （2）、对积分域的可加性。设（即，且与没有公共的内点），则有 。 （3）、不等式性质。若，则有，特别有。 （4）、估值定理。若，其中为常数，则有。 （5）、中值定理。若在闭域上连续，则在上至少存在一点，使得，特别，称为函数在点集上的积分平均值。 （6）、物体的几何形状为点集，则，为物体在点处的密度。特别，当时，（点集的几何度量）。 4、对称性 （1）、狭义对称性 若空间闭区域关于面（或面，或面）对称，且是关于（或，或）的奇函数，则。 （2）、广义对称性 设是定义在区域上的连续函数，且具有某种对称性，记的对称点，那么 （a）、。 （b）、。 （c）、若，有成立，则。 （d）、若，有成立， 则，为的一半。 5、这五大积分（数量函数的积分）有一个共同的物理背景：质量，所以有时要充分利用该物理背景理解积分公式和性质，而且有时还用来求一些特殊区域上的积分。