数学新课程创新教学设计案例——平面与平面垂直.doc

数学新课程创新教学设计案例 ——平面与平面垂直 教材分析 两个平面垂直的判定定理及性质定理是平面与平面位置关系的重要内容．通过这节的学习可以发现：直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定和性质定理形成了一套完整的证明体系，而且可以实现利用低维位置关系推导高维位置关系，利用高维位置关系也能推导低维位置关系，充分体现了转化思想在立体几何中的重要地位．这节课的重点是判定定理及性质定理，难点是定理的发现及证明． 教学目标 1. 掌握两平面垂直的有关概念，以及两个平面垂直的判定定理和性质定理，能运用概念和定理进行有关计算与证明． 2. 培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力，知识迁移能力，运用数学知识和数学方法观察、研究现实现象的能力，整理知识、解决问题的能力． 3. 通过对实际问题的分析和探究，激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神． 任务分析 判定定理证明的难点是画辅助线．为了突破这一难点，可引导学生这样分析：在没有得到判定定理时，只有根据两平面互相垂直的定义来证明，那么，哪个平面与这两个平面都垂直呢？对性质定理的引入，不是采取平铺直叙，而是根据数学定理的教学是由发现与论证这两个过程组成的，所以应把“引出命题”和“猜想”作为本部分的重要活动内容． 教学设计 一、问题情境 1. 建筑工人在砌墙时，常用一根铅垂的线吊在墙角上，这是为什么？（为了使墙面与地面垂直） 2. 什么叫两个平面垂直？怎样判定两平面垂直，两平面垂直有哪些性质？ 二、建立模型 如图19-1，两个平面α，β相交，交线为CD，在CD上任取一点B，过点B分别在α，β内作直线BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD．于是，直线CD⊥平面ABE． 容易看到，∠ABE为直角时，给我们两平面垂直的印象，于是有定义： 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，并且这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直． 平面α，β互相垂直，记作α⊥β． ［问　题］ 1. 建筑工人在砌墙时，铅垂线在墙面内，墙面与地面就垂直吗？ 如图19-1，只要α经过β的垂线BA，则BA⊥β，∴BA⊥BE，∠ABE＝Rt∠．依定义，知α⊥β．于是，有判定定理： 定理　如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直． 2. 如果交换判定定理中的条件“BA⊥β”和结论“α⊥β”．即，也就是从平面与平面垂直出发，能否推出直线与平面垂直？ 平面α内满足什么条件的直线才能垂直于平面β呢？让学生用教科书、桌面、笔摆模型．通过模型发现：当α⊥β时，只有在一个平面（如α）内，垂直于两平面交线的直线（如BA）才会垂直于另一个平面（如β）． 于是，有定理： 定理　如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． （先分析命题的条件和结论，然后画出图形，再结合图形，写出已知，求证） 已知：如图，α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，求证：AB⊥β． 分析：要证AB⊥β，只需在β内再找一条直线与ＡＢ 垂直，但β内没有这样的直线，如何作出这条直线呢？因为α⊥β，所以可根据二面角的定义作出这个二面角的平面角．在平面β内过点B作BE⊥CD．因为AB⊥CD，所以∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，并且∠ABE＝90°，即AB⊥BE．又因为CDβ，BEβ，所以AB⊥β． 三、解释应用 ［例　题］ 1. 已知：如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD长． 解：连接BC． 因为AC⊥AB， 所以AC⊥β，AC⊥BD． 因为BD⊥AB， 所以BD⊥α，BD⊥BC． 所以，△CBD是直角三角形． 在Rt△BAC中，BC＝＝5（cm）， 在Rt△CBD中，CD＝＝13（cm）． 2. 已知：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜边BC的高，以AD为折痕使∠BDC折成直角（如图19-4）． 求证：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC． （2）∠BAC＝60°． 证明：（1）如图19-4（2）， 因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC． 因为平面ABD和平面ACD都过AD， 所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC． （2）如图19-4（1），在Rt△BAC中， 因为AB＝AC＝ａ， 所以BC＝ａ，BD＝DC＝． 如图19-4（2），△BDC是等腰直角三角形， 所以BC＝BD＝2×＝ａ． 得AB＝AC＝BC．所以∠BAC＝60°． ［练　习］ 1. 如图19-5，有一个正三棱锥体的零件，P是侧面ACD上一点．问：如何在面ACD上过点P画一条与棱AB垂直的线段？试说明理由． 2. 已知