2010年数学建模B题(储油罐问题).doc

PAGE \* MERGEFORMAT 24 储油罐的变位识别与罐容表标定 摘 要 对于加油站储存燃油的地下储油罐变位的罐容标定问题，我们需要研究各种不定因素对罐容标定的影响。本文主要考虑在油罐的几何形状确定的情形下，由于地基变形而引起的油液面倾斜等因素对罐容表的影响。 将理论推导和数据拟合情况综合分析，在理论推导方面，创新性的运用祖暅体积公式，使用操作更简单的近似计算，结合相应容积斜率表，将倾斜卧式椭圆油罐容积的计算等效替换为水平状态下相应部分体积的计算，并对其修正得出最符合实际情况的罐容表。使用体积补偿方法产生虚拟体积，对不规则体积进行规则变换，最终求得不规则立体的体积。探讨了使用SURFER软件对体积网格化求不规则立体体积的方法。 对两端平头的椭圆柱体形小椭圆型储油罐无变位和倾斜（倾斜角=）情况进行分析，求出罐容表并对其进行分析。我们利用祖暅原理结合不定积分即可求出理论推导式，再用Matlab对实际所测数据进行拟合得出近似方程。对近似方程与理论推导出来的公式分别计算并进行比较，同时进行修正得出最符合实际情况的方程。 对实际的储油罐变位情况（纵向倾斜角度，横向倾斜角度）建立罐容表。我们采用分割法利用竖直平面将储油罐分割，对于规则微小体积元，可以通过积分的方法计算规则体的体积；对于不规则的微小体积元，通过延长油罐的另一端使其转化成规则体元，计算出总的体积，减去虚拟体积。采用Matlab符号运算工具箱，推导出变位油罐标尺高度，，与体积 之间的关系，并与实际测量数据拟合公式做比较，求出体积微小差异量，进行误差分析。结果表明，此模型与实际测量数据吻合程度较好。 关键词： 祖暅原理;截面转化;等效变换;虚拟体积;体积网格化 一 问题重述 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。 问题一 考虑一种典型的储油罐，其主体为圆柱体，两端为平头的小椭圆型储油罐水平放置而无变位和倾斜（倾斜角=）时的情况进行分析得出小椭圆型储油罐的罐容与标油计的计量h同罐容的函数关系，并作出它们的罐容表进行比较，同时求出间隔为1cm 罐容表标定体积值。 问题二 由于地基的变化从而引起油罐倾斜而使原来的“油位计量管理系统”对倾斜后的油体积的测量不在适合。因而，我们利用已知形状的储油罐对倾斜后测量标油计所测的实际数据测量储油罐变位即纵向倾斜角度和横向倾斜角度同时变化情况同油标记的计量h与油罐体积的函数关系，并求出求出间隔为10cm 罐容表标定体积值。 二 问题分析 问题一 （1）由题意可知对于小椭圆型储油罐无变位情况我们只需要找出油标记的计量与油与小椭圆型储油罐相交形成的油面的关系，再利用规则椭圆柱体的体积公式即可求出罐容与小椭圆型储油罐无变位的油标记的计量的关系。 （2）对于小椭圆型储油罐变位情况即倾斜角纵向变位（如图3），由于油面的高度不同，油面与油罐所形成的切面具有很大差别，同时油所形成的几何体并不规则，这就需要我们对其进行分割，利用积分求解，得出理论方程。同时利用Matlab对实测数据拟合得出拟合方程，再进行比较和修正。 （3）利用以上所得方程，带入且即可求出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 问题二 在实际生活中，由于土壤自然物理沉降，经加油站常会出现储油罐变位情况所以油罐的体积计算就显得尤为重要，因此如果能够建立油罐准确的罐容表，将大大方便生产生活。（如图）由于油所形成的形状不规则的几何体，因此我们可以采用体积积分分割油罐行成不规则体元，这样就可以通过解析几何与体积积分的方法计算不规则体积体积。但是，在实际计算中发现其积分过程过于复杂，通过重新假设寻找方法，发现如果对油罐一端进行有限延长，然后使用减去虚拟体积，就可以通过数学软件求的近似结果。（如图）对于球缺部分，我们在将其切割，切割一小块利用微元，利用Matlab符号运算工具箱，推导出变位油罐液面高与体积之间的关系，与实际测量数据拟合公式减差，求的体积微小差异量，进行误差分析，通过合理猜想判断误差来源，进而找到最优结果。 三 模型假设 1由于温度的变化影响油的体积变化较小，我们将其忽略不计。 2 由于油对罐面具有一定的粘度，但是在实际情况中罐壁上的粘度与底座是不同的，并且它还受温度的影响，在这里我们将其忽略，进行简化。 3 油罐倾斜时，在倾斜脚出有一定的体积用油标记是无法测到