高一数学必修一函数的单调性与最值.pptVIP

例2 证明函数 在区间 上是减函数。 请你归纳利用定义判断函数的单调性的步骤。 函数的最值 * * 函数的单调性与最值 高一数学组 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 1.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映 了相应函数的哪些变化规律： ①随x的增大，y的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？ 2.画出下列函数的图象，观察其变化规律： (1) f(x) = x ① 从左至右图象上升还是下降 ______? ② 在区间 ____________ 上，随着x的增 大，f(x)的值随着 ________ ． (2) f(x) = ① 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． ② 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 函数单调性的定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个 自变量 ，当 时，都有 ， 那么就说f(x)在区间D上是增函数． 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义． 减函数 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个 自变量 ，当 时，都有 ， 那么就说f(x)在区间D上是减函数． 注意： 1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质，是函数的局部性质； 2.必须是对于区间D内的任意两个自变量 . 2．函数的单调区间的定义 如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是 减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间： 例1.如图是定义在区间[ -5, 5 ]上的函数 ， 根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区 间上，它是增函数还是减函数？ 解：函数 的单调区间有[ -5,-2 ),[ -2,1 ), [ 1,3 ),[ 3,5 ].其中 在区间[ -5,-2 ), [ 1,3 ) 上是减函数，在区间[ -2,1 ),[ 3,5 ]上是增函数。 3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤： ①任取x1，x2∈D，且 ； ②作差 ； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差 的正负）； ⑤判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）． 3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤： ①任取x1，x2∈D，且 ； ②作差 ； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差 的正负）； ⑤判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）． 课堂练习 课本第38页 练习1、2、3、4题 课堂小结 函数的单调性一般是先根据图象判断，再利 用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调 性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 判断 课后作业 课本第39页 习题1.3(A组) 第1﹑2﹑3﹑4题 例3.物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）告 诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压 强P将增大，试用函数的单调性证明之。 分析：按题意，只要证明函数 在区间( 0, +∞ )上是减函数即可。 证明：根据单调性的定义，设 是定义域 ( 0,+∞ )上的任意两个实数，且 ，则 由