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第二章 矩阵(逆矩阵、初等变换、秩)
练习 设矩阵 求 (15分) 解 故 练习 设矩阵 求 解 (15分) * * 第二章 矩阵 §3 逆矩阵 一、可逆矩阵的概念 n 阶矩阵 (方阵) 若存在 n 阶矩阵 ,使 则称 可逆,(或 是可逆矩阵), 且称 的逆矩阵。 记作 由定义知: 则 二、矩阵可逆的条件及逆矩阵的求法 的伴随矩阵 (其中 表示 中元素 的代数余子式) 例 设 求 解 定理 可逆 且有: 推论 若 则 ( 为同阶方阵) 说明:若 则 与 都可逆,且互为 逆矩阵。即 ● 填空题 (3分) 设 是可逆矩阵,且 则 ( ) A. C. B. D. C 例 判断矩阵 是否可逆? 若可逆,求其逆矩阵。 P76 解 可逆 又 故 ● 定义 若 则称 为可逆矩阵, 或 非奇异矩阵, 非退化矩阵, 否则,称 为不可逆矩阵, 奇异矩阵, 退化矩阵。 满秩矩阵 三、可逆矩阵的性质 1)若矩阵 可逆,则其逆矩阵 是唯一的 2)若 可逆,则 也可逆,且 (常数 ) 3)若 与 为同阶可逆矩阵,则 也 可逆,且 推广: 4)若 可逆,则 (或 ) 5)若 可逆,且 则有 6)若 可逆,且 则有 ● 填空题 设 均为n阶矩阵,其中 可逆 则矩阵方程 的解 . 设方程 如果 可逆, ● 填空题 则 . 解 由 得 又因为 可逆, 存在 故 ● 单项选择题 设 为同阶可逆矩阵,则下列等式 成立的是( ) A. B. C. D. D 结论 若 均不为0, 则对角矩阵 可逆, 且有 §4 矩阵的初等行变换 ● 矩阵的初等行变换的定义: 1)交换矩阵的某两行; 2)用一个非零常数 遍乘矩阵的某一行; 3)把矩阵的某一行遍乘常数 后加到另一行。 ● 矩阵 经过初等行变换变为矩阵 , 记作: 定理 任何非奇异矩阵均可用初等行变换 化为单位矩阵。 即 设 可逆,则 初等行变换 例 用初等行变换将矩阵 化为单位矩阵。 解 一般地,先将 化为主对角线元素全为1的 上三角矩阵,再化为单位矩阵 。 具体地说, ● 用初等行变换求逆矩阵 初等行变换 ● 用此方法求逆矩阵,不需要先判断原矩阵是否可逆。 例1 用初等行变换求矩阵 的逆矩阵。 P82 解 故 例2 已知 其中 求 (15分) 解 利用初等行变换得 所以 例3设矩阵 是3阶单位矩阵, 求 (15分) 解 *
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