正弦定理习题及答案.docVIP

PAGE 正弦定理习题及答案 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin B＝2，sin A＝eq \f(1,2)，则b的值为(　　) A．2　　　　　　　　　　　　 B．4 C．6 D．8 解析：　由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(2,\f(1,2))＝4. 答案：　B 2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 解析：　∵sin2A＝sin2B＋sin2 ∴由正弦定理可得a2＝b2＋c2 ∴△ABC是直角三角形． 答案：　C 3．在△ABC中，若A＝60°，C＝75°，b＝6，则a等于(　　) A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C.eq \r(6) D．3eq \r(6) 解析：　∵B＝180°－(60°＋75°)＝45°， ∴a＝eq \f(bsin A,sin B)＝eq \f(6×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝3eq \r(6). 答案：　D 4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是(　　) A．b＝10，A＝45°，B＝70° B．a＝60，c＝48，B＝100° C．a＝7，b＝5，A＝80° D．a＝14，b＝16，A＝45° 解析：　D中，bsin A＝8eq \r(2)，a＝14，所以bsin Aab，所以三角形有两个解．故选D. 答案：　D 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比为a∶b∶c为________． 解析：　∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°， ∴A＝90°，B＝60°，C＝30°， 设eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝k， 则a＝ksin A＝k，b＝ksin B＝eq \f(\r(3),2)k，c＝ksin C＝eq \f(k,2). ∴a∶b∶c＝2∶eq \r(3)∶1. 答案：　2∶eq \r(3)∶1 6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a＝eq \r(15)，b＝2，A＝60°，则tan B＝________. 解析：　由正弦定理得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(2,\r(15))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,\r(5))， 根据题意，得ba， 故BA＝60°，因此B为锐角． cos B＝eq \r(1－sin2B)＝eq \f(2,\r(5)). 故tan B＝eq \f(sin B,cos B)＝eq \f(1,2). 答案：　eq \f(1,2) 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．(1)在△ABC中，已知A＝30°，a＝eq \r(6)，b＝2eq \r(3)，求B. (2)在△ABC中，已知A＝60°，a＝eq \r(6)，b＝2，求B. 解析：　(1)在△ABC中，由正弦定理可得eq \f(\r(6),sin 30°)＝eq \f(2\r(3),sin B)， 解得sin B＝eq \f(\r(2),2) ∵ba，∴BA. ∴B＝45°或135°. (2)在△ABC中，由正弦定理可得eq \f(\r(6),sin 60°)＝eq \f(2,sin B)， 解得sin B＝eq \f(\r(2),2)， ∵ba，∴BA. ∴B＝45°. 8．在△ABC中，若sin B＝eq \f(a,c)＝eq \f(\r(2),2)，且B为锐角，试判断△ABC的形状． 解析：　∵sin B＝eq \f(\r(2),2)，且B为锐角， ∴B＝45°. ∵eq \f(a,c)＝eq \f(\r(2),2). ∴由正弦定理得eq \f(sin A,sin C)＝eq \f(\r(2),2)， 又∵A＋C＝135°， ∴sin(135°－C)＝eq \f(\r(2),2)sin C， 整理得cos C＝0. ∴C＝90°，A＝45°. ∴△ABC是等腰直角三角形． eq \x(尖子生题库)☆☆☆ 9．(10分)△ABC的各边均不相等，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acos A＝bcos B，求eq \f(a＋b,c)的取值范围． 解析：　∵acos A＝bcos B， ∴sin Acos A＝sin BcosB， ∴sin 2A＝sin 2B ∵2A,2B∈ ∴2A＝2B或2A＋2 ∴A＝B或A＋B＝eq \f(π,2). 如果A＝B，则a＝b不符合题意， ∴A＋B＝eq \f(π,2). ∴eq \f(a＋b,c