《3第三讲粒子在电磁场中的运动(课件3)》-课件设计（公开）.ppt

Ex.2 * * 第 三 讲 粒子在电磁场中的运动朗道能级 物理学专业2008级 2011-3-7 一、电磁场中运动粒子的薛定谔方程 1．经典哈密顿量 质量为 ，带电荷 的粒子在电磁场中运动，受到的洛仑兹力（高斯单位制） 利用 可将洛仑兹力写成 由此式先对速度空间求梯度，再对时间求导，则有 （1） 令 （2） （3） 将（2）、（3）式代入（1）式 （4） 按此及分析力学知， 是粒子的势能 正则动量 Lagrangian函数 其中，　 即为平常所说的机械动量 （5） or 电磁场的矢势， 电磁场的标势 2．正则量子化 在量子力学中，把正则动量换成正则动量算符，即 哈密顿量为 即 电磁场中粒子的运动速度： 横波条件 or 薛定格方程： 哈密顿算符： 一般说来， 与 不对易 在横波条件下，Schr?dinger方程可写成 二、几率流密度与守恒律 取复共轭，利用 （2） （1） 得： 取横波条件 记 几率密度 即 几率守恒律 三、规范不变性 在电动力学中，电磁场具有规范不变性，即当 作下述变换， 电荷守恒律 其中 电场强度 和磁场强度 都不改变 则量子力学理论具有不变性。 １概率密度不变 2.薛定谔方程形式不变 因 在电磁场的规范变换下，若使波函数作变换 命题： 代入 则有 ３．概率流密度及守恒律不变 概率流 可见， 和 满足的薛定谔方程形式不变 四. 带电粒子在均匀磁场中的运动 满足以上微分方程组的Ax、Ay、Az可采用以下三种简并取法 ① ② ③ 设一质量为 ，带电 的粒子在均匀磁场中运动，磁场方向为 轴 朗道（库仑）规范 对称规范 对称规范与朗道（库仑）规范相差规范变换 （其中 ） 这里取用第一组形式解： 哈密顿算符： （1） 能量本征方程 （2） 故力学量完全集取 ，它们的共同本征函数 因 显然 （4） （5） （3）式代入（2），得到 或 （6） （3） 令 （7） 方程（8）与一个平衡位置在 处，谐振频率为 的一维线性谐振子的能量本征方程相同 （8） 将方程（6）写成 其能量本征值： 其本征函数 带电粒子哈密顿算符的本征能量 粒子的能量本征函数 （10） 讨论： （9） 此又称为朗道能级 因磁矩 与沿 轴方向的磁场 的相互作用能表为 1.朗道抗磁矩 将此与能量公式（9）的第二项 朗道抗磁矩与电符正负无关，是自由带电粒子在磁场中的一种量子效应，由此可说明自由电子气的反磁性。 比较发现，磁场中运动的带电粒子具有抗磁矩 称为朗道抗磁矩 2.简并度—无穷度简并 在能量公式（9）中不出现 ， 对于 的不同值，波函数 不同，但相应的能量本征值相同，由于 ，因此，能量本征值无穷度简并。 3.二维电子气朗道能级简并度 对于电子，由（7）式有 电子自旋频率 拉莫尔频率 称为磁长度 （10） 设二维电子气局限于长宽分别为 的矩形区域内，本征函数 含 ，本征值 不含 ，所以每个朗道能级的简并度 是 的可能取值数目。由箱归一化条件， 方向的周期条件 是允许的 的间距，得 其中 称为元磁通量子 是外磁场通量 可见，朗道能级简并度 是外磁场通量 中含元磁通量子 数目 1．当 空间分布均匀而随时间变化时，证明粒子的 波函数可表示成空间函数与自旋函数的乘积，并写 出它们满足的波动方程； 3．在2中求得的t 时刻的自旋函数是自旋投影到什 么方向上的算符 的本征态？并求在此自旋态 下的 、 、 。 2．当 沿 轴方向，在 时，自旋函数为 求在 时刻的自旋函数； solve： 1. 粒子的哈密顿量 Ex.1. 自旋为 ，内禀磁矩为 的带电粒子处于电磁场中运动。 其中, 是电磁场的矢势和标势，由于 与空间坐标无关，所以粒子的波函数可写为空间波函数与