数学人教版九年级上册拓展二　二次函数与三角形面积问题.ppt

拓展二 二次函数与三角形面积问题;例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点C，点B在x轴的正半轴上，且AB=4，抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B,C. （1)求抛物线的解析式；;解：对于y=x+3，当x=0时，y=3； 当y=0时，x=-3， ∴A（-3，0），C（0，3）， ∵AB=4，∴B（1，0）， ∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）， B（1，0），C（0，3）， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;;【思维教练】要求△ABC的面积，需知△ABC的一条边的长度和这条边上高的长度，由于△ABC的边AB已知，底边AB上的高为OC，即为点C的纵坐标，代入面积计算公式即可求解；;【思维教练】△QAE与△CBE的底边 AE=BE，要使两三角形面积相等，故 只要高相等，∵△CBE底边BE的高为3， ∴点Q的纵坐标为3和-3时，满足条件， 分别代入抛物线解析式即可求解； ;例2题解图①;【思维教练】要求四边形AOCD和△ACD的面积，由于四边形AOCD是不规则图形，则可利用S四边形AOCD= S△AOD +S△COD计算.由于△ACD的底与高不容易计算，所以可利用S四边形AOCD -S△AOC计算；;易知点D的坐标为（-1，4）， ∴S四边形AOCD =S△AOD +S△COD= ×3×4+ ×3×1= ， ∴S△ACD =S四边形AOCD -S△AOC= - ×3×3=3；;（5）在直线AC的上方的抛物线上，是否存在一点M,使△MAC的面积最大？若存在，请求出点M的坐标，并求出△MAC面积的最大值；若不存在，请说明理由； 例2题图④;【思维教练】要求图形面积最值问题，若求三角形面积最值，根据题意用未知数设出所求点的坐标，并利用所设点坐标表示出三角形的底和高，用面积公式求解；若求四边形面积最值时，常用到的方法是利用割补方法将四边形分成两个三角形，从而利用求三角形面积的方法求得用含未知数的代数式表示的线段（常用到相似三角形性质、勾股定理）.分别计算出每个三角形的面积，再进行和差计算求解.如此问，要使△MAC的面积最大，可先用含字母的式子表示出S△MAC，再利用二次函数性质讨论其最值，进而求得M点坐标；;设M（x，-x2-2x+3），则N（x，x+3），MN=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，∴S△MAC =S△AMN +S△CMN = MN×3= (-x2-3x)= - (x+ )2+ ，∵- 0， ∴当x=- 时，S△MAC的值最大为 ， 当x=- 时，y=-(- )2-2×(- )+3= ， ∴点M的坐标为（- ， ）；;【思维教练】要确定H点的位置，根据△HGA被分成面积为1∶2的两部分，△HAI和△AIG高相等，对称轴在y轴左侧，可分HI与IG为1∶2或2∶1两种情况，列方程即可求解；;;（7）在抛物线上是否存在一点R，且位于对称轴的左侧，使S△RBC = ，若存在，求出此时点R的坐标；若不存在，请说明理由.;例2题解图⑤;由B（1，0），C（0，3）可求出直线BC的解析式为y=-3x+3， 设R（x，-x2-2x+3），则F（x，-3x+3）， ∴RF=-3x+3-（-x2-2x+3）=x2-x， ∴x2-x=9， 解得x1= ， x2= （不合题意，舍去）， ∴R（ ， ）.;