特殊平行四边形典型例题解析题.doc

PAGE PAGE 1 一、参考例题 ［例1］如下图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F. (1)求证：EO=FO (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论. 分析：(1)要证明OE=OF，可借助第三条线段OC，即证：OE=OC，OF=OC，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证△OEC、△OCF是等腰三角形，由已知条件即可证明. (2)假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角. 由已知可得到：∠ECF=90°，由(1)可证得OE=OF，所以要使四边形AECF是矩形,只需OA=OC. 证明：(1)∵CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线. ∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF ∵MN∥BC ∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD ∴∠ACE=∠OEC，∠ACF=∠OFC ∴OE=OC，OF=OC ∴OE=OF (2)当点O运动到AC的中点时，即OA=OC 又由(1)证得OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) 由(1)知：∠ECA+∠ACF=∠ACB+∠ACD= (∠ACB+∠ACD)=90° 即∠ECF=90° ∴四边形AECF是矩形. 因此：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. ［例2］如下图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OF⊥AD于F，OF=3 cm，AE⊥BD于E，且BE∶ED=1∶3，求AC的长. 分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE，进而得出AB=AO，即得出BE=OF=3 cm，求出BD的长，即AC的长. 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD,OB=OD=OA=OC 又∵BE∶ED=1∶3 ∴BE∶BO=1∶2 ∴BE=EO 又∵AE⊥BO ∴△ABE≌△ADE ∴AB=OA即AB=AO=OB ∴∠BAE=∠EAO=30°，∠FAO=30° ∴△ABE≌△AOF ∴BE=OF=3 cm,∴BD=12 cm ∴AC=BD=12 cm 二、参考练习 1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长. 解：连结BD、BE、DF 由折叠的意义可知：EF⊥BD，EF平分BD. ∴BE=ED,BF=FD ∵四边形ABCD为矩形 ∴AB=CD，AD=BC，∠C=90°，AD∥BC ∴∠EDO=∠FBO ∵点B和D重合 ∴BO=DO，∠BOF=∠DOE ∴△BOF≌△DOE ∴ED=BF，∴ED=BF=FD=BE ∴四边形BFDE是菱形 S菱形=×BD×EF=BF×CD ∵BF=DF，∴可设BF=DF=x 则FC=8－x 在Rt△FCD中，根据勾股定理得： x2=(8－x)2+62 x= ∴ EF=7.5 因此，折痕EF的长为7.5 cm. 2.当平行四边形ABCD满足条件_________时，它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可). 答案：∠BAC=90°或AC=BD或OA=OB或∠ABC+∠ADC=180°或∠BAD+∠BCD= 180°等条件中的任一个即可. 典型例题 　　例1? 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且，求： 　　（1）的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积． 　　分析? （1）由E为AB的中点，，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知 　　解? （1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴ 　　是AB的中点，且，∴ 　　∴是等边三角形，∴也是等边三角形． 　　∴ 　　（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分， 　　∴ 　　∴，∴ 　　（3）菱形ABCD的面积 　　说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点． 　　例2? 已知：如图，在菱形ABCD中，于于 F． 　　求证： 　　分析? 要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论． 　　证明? ∵四边形ABCD是菱形，∴，且，∴，∴， 　　， 　∴， 　∴ 　　例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，，，求的度数.? 　　解答：连结AC.? 　∵四边形ABCD为菱形， 　　∴，.? 　　∴与为等边三角形.? 　∴ 　　∵， ∴ 　∴ 　　∴ 　　∵，　∴为等边三角形.? 　∴