生活中的数学建模.pptx

第2讲 生活中的数学建模 ; 【本讲简介】 数学建模无处不在。在我们的生活中处处可以看到数学模型的影子，本讲介绍发生在我们身边的几个数学建模案例：人行走时步长多大最省力？雨中行走如何使淋雨量最小？道路越多越通畅吗？有奖销售时的抽奖策略问题，“非诚勿扰”女生的最佳选择,网络文章流行度预测,招聘时的稳定匹配等。 ; 　行走步长问题 问题 人在匀速行走时步长多大最省劲？ 设人的体重为M?，腿重为 m?，腿长为 l?，速度为v?（固定），单位时间步数为 n?，步长为 x?（v?= n x ?）。 ; 　考虑人行走时所消耗的能量的两个部分：一部分抬高人体重心，转化为势能，另一部分转化为两腿转动的动能 （全身运动的平动能是常数，与步长无关，故不考虑）。 下面分别计算之。 1. 重心升高所需的能量 　　记一步中重心升高为δ?，则 ;; 于是，单位时间重心升高所需做功为 　2. 　腿运动所需的能量 　将人行走时腿的运动视为均匀直杆（腿）绕腰部的转动，则在单位时间内所需动能为 ;其中转动惯量 ，角速度 ,故 所以人行走时单位时间所做的功为 ; 令 解得 为检验此结果的合理性，带入具体数值，假定 M/m = 4， l = 1 米 , g = 9.8米/秒2 , v =1.5米/秒 计算得到 　　 n = 5.4步/秒 x = 0.28米 结果与实际情形差异太大! ; 　　有人将腿的转动改为脚的直线运动，且将腿的质量全部算在脚上，这样得到的结果大约是每秒３步，是否合理？ 　　　 建模小结：本问题的关键点在于腿部运动的合理描述，模型改进的方向来自于对结果的细致分析。; 雨中行走问题 　问题 考虑人在雨中沿一直线行走，雨速已知，问人行走的速度多大才能使淋雨量最小？ 　单位时间淋雨量最小：雨从头顶上落下。 　但这样做要付出时间代价，值不值就要看具体降雨量情况与风的情况而定了。;;;;（2）Vx 0 时（即风从背面吹来） ;　　 　 　结论 当 A Vx 时，取 U = Vx ， 其他情况下，U　应尽可能大。 　　　建模小结：决定淋雨量大小有两个因素：淋雨时间及单位时间淋雨量,忽略后者将导致错误结论。; 道路越多越通畅吗？ ;布雷斯悖论( Braesss paradox ); 数学家研究结论：如果一个交通网络上每一条路的通行时间都与这条路上的车子数量成线性关系，这个交通网络就一定存在一个纳什均衡点。它可能导致全体不利的情况发生，即出现布雷斯悖论现象。 真实案例1：德国,斯图加特市,1969 年。 真实案例2：美国，纽约，1990年世界地球日。 真实案例3：韩国，清溪川。 ; 某人可获得一笔奖金 x?, x由他在区间[0,1]?中任意地抽取。如果他满意，可以领取 x 奖金而不再抽取；如果他不满意，可以放弃这个 x ?而重新抽取。这个抽取过程可重复?3 次 , 第三次抽取后不得放弃。 问他应该采取何种策略以期获得最多奖金？ ; 设该抽奖人采取的策略为： 其中 X1?, X2 , X3 均为在[0,1]上均匀分布的随机变量。该人目标为获得的奖金H的期望达最大值。 ; 计算期望：令 则H = g(X1,X2,X3), 根据期望计算公式有; 以下我们换一种方法计算获利期望。 ★ 条件期望方法 第一次抽奖的获奖期望为 第二次抽奖的获奖期望为 ; 第三次抽奖的获奖期望为 所以 ; 令 　 　 解得： a = 5/8 , b = 1/2 最大期望奖金为： 　最优停止问题，例如“不可召回的秘书招聘问题”。;《非诚勿扰》女生的”最优选择”;　 1/e 大约等于37%，即k/n＝37%——37%法则！ 按此策略，找到最中意男生的概率也是37%！;【问题】“如何在一篇文章被发出前就判断它会否流行” The Pulse of News in Social Media: Forecasting Popularity 【基本思路】 确定文章内容的关键因素。 统计这些关键