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等腰直角三角形中的常用模型 一 【知识精析】 1、等腰直角三角形的特征： ①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等 （都是45º） ②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。 2、等腰直角三角形与全等三角形： 以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角 形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。 模型一：一条直线 （不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点 （1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形： 例1．如图：RtΔABC 中，∠BAC 90º，AB AC，点D 是BC上任意一点，过B 作BE⊥AD 于点E，过C作CF⊥AD 于点F。 （1）求证：BE-CF EF； （2）若D 在BC 的延长线上 （如图 （2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新 的结论并证明。 如图1，等腰Rt ABC 中，AB CB，∠ABC 90º，点P 在线段BC上 （不与B、C 重合）， 以AP 为腰长作等腰直角 PAQ，QE⊥AB 于E ，连CQ交AB 于M。 （1）求证：M 为BE 的中点 PC （2）若PC 2PB，求 的值 MB （2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形： 3、如图：RtΔABC 中，∠BAC 90º，AB AC，点D 是BC上任意一点，过B 作BE⊥AD 于 点E，交AC于点G，过C作CF⊥AC交AD 的延长线与于点F。 （1）求证：BG AF； （2）若D 在BC 的延长线上 （如图 （2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的 结论并证明。 º º 变式1：如图，在R △ABC 中，∠ACB 45 ，∠BAC 90 ，AB AC，点D 是AB 的中点，AF⊥CDt 于H 交BC于F，BE∥AC交AF 的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE. 变式2：等腰Rt△ABC 中，AC AB，∠BAC＝90°，点D 是AC 的中点，AF⊥BD 于点E， 交BC于点F，连接DF，求证：∠1 ∠2。 变式3：等腰Rt△ABC 中，AC AB，∠BAC＝90°，点D、E 是AC上两点且AD CE，AF ⊥BD 于点G，交BC于点F 连接DF，求证：∠1 ∠2。 模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边 等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形 例1：等腰Rt△ABC 中，AC AB，∠BAC＝90°，E 是AC 上一点，过C作CD⊥BE 于D， 连接AD，求证：∠ADB＝45°。 变式1：等腰Rt△ABC 中，AC AB，∠BAC＝90°，E 是AC 上一点，点D 为BE 延长线上 一点，且∠ADC＝135°求证：BD⊥DC。 变式2：等腰Rt△ABC 中，AC AB，∠BAC＝90°，BE 平分∠ABC 交AC于E，过C作CD ⊥BE 于D，DM⊥AB 交BA 的延长线于点M， BM AM （1）求ABBC 的值；（2）求BCAB 的值。 模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点 （1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形： 例 1、如图1，△ABC、△BEF 都是等腰直角三角形，∠ABC ∠BEF 90º，连接AF、CF， M 是AF 的中点，连ME，将△BEF 绕点B 旋转。猜想CF 与EM 的数量关系并证明； （2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形： （3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全 等三角形： 如图，△ABC和△EBD 都是等腰直角三角形，∠BAC ∠BED 90º。把DE 平移到CF，使E 与C 重合，连接AE、AF，则△AEB 与△AFC全等 （关键是利用平行证明∠ABE ∠ACF ） 例.如图：两个直角三角形ABC、ADE 的顶点A 重合，P 是线段BD 的中点，连PC、PE。 （1）如图1，若∠BAC ∠DAE 45°，当A、C、D 在同一直