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实用标准文案 PAGE 精彩文档 实变函数试题 一，填空题 设, , 则. ,因为存在两个集合之间的一一映射为 设是中函数的图形上的点所组成的 集合，则，. 若集合满足, 则为集. 若是直线上开集的一个构成区间, 则满足: , . 设使闭区间中的全体无理数集, 则. 若, 则说在上. 设, ,若,则称是的聚点. 设是上几乎处处有限的可测函数列, 是上 几乎处处有限的可测函数, 若, 有 , 则称在上依测度收敛于. 设,, 则的子列, 使得. 二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 若可测, 且,则. 设为点集, , 则是的外点. 点集的闭集. 任意多个闭集的并集是闭集. 若,满足, 则为无限集合. 三, 计算证明题 1. 证明: 2. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明为可数集. 3. 设,且为可测集, .根据题意, 若有 , 证明是可测集. 设是集, . 求. 设函数在集中点上取值为, 而在的余集中长为的构成区间上取值为, , 求 . 求极限: . 实变函数试题解答 一 填空题 . ; . 闭集. . 几乎处处收敛于 或 收敛于. 对有. 于. 二 判断题 . 例如, , , 则且,但. . 例如, , 但0不是的外点. . 由于. . 例如, 在 中, , 是一系列的闭集, 但是不是闭集. . 因为若为有界集合, 则存在有限区间, , 使得, 则于. 三, 计算证明题. 1. 证明如下: 中任何一个元素可以由球心, 半径为唯一确定, ,, 跑遍所有的正有理数, 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故为可数集. 令, 则且为可测集, 于是对于, 都有, 故 , 令, 得到, 故可测. 从而 可测. 已知, 令, 则 . 将积分区间分为两两不相交的集合: , , , 其中为集, 是的余集中一切长为的构成区间(共有个)之并. 由积分的可数可加性, 并且注意到题中的, 可得 因为在上连续, 存在且与的值相等. 易知 由于在上非负可测， 且广义积分收敛，则 在上可积， 由于， ，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到 . 一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分） 非可数的无限集为c势集 开集的余集为闭集。 若mE=0，则E为可数集 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积 二、将正确答案填在空格内（共8分，每小题2分） ______可数集之并是可数集。A. 任意多个 B. c势个? C. 无穷多个 D 至多可数个 _____闭集之并交是闭集。A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个 可数个开集之交是_____A开集 B闭集 C F型集 D G型集 若 |f| 在E上可积，则_______A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限 三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（共9分，每小题3分）。 四、证明下列集合等式（共6分，每小题3分）： S-S=(S-S) E[fa]=E[fa-] 五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。（8分） 六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x) a.e于E，且|f|d|f|d，则对任意可测子集eE有? |f|d|f|d（7分） 七、计算下列各题：（每小题5分，共15分） sin(nx)d=? 设f(x)=求d=? 设f(x)= ???n=2,3,…, ?求d=? ?一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例) 非可数的无限集为c势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于c）。 开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。 若mE=0，则E为可数集（不正确！如contorP集外测度为0，但是C势集）。 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测（不正确！如） 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积（不正确！如有界可测，但不可积） 二、将正确答案填在空格内 1． 至多可数个 可数集之并是可数集。A. 任意多个B.c势个 C. 无穷多个 D 至多可数个2.有限个 闭集之并交是闭集。A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个 3.可数个开集之交是 G型集A开集 B闭集 C? F型集 D? G型集 4.若 |f| 在E上可积，则 f在E上几乎处处有限 A. f在E上可积 B. f