探索数学实验报告材料素数.doc

实用标准文案 精彩文档 实 验 报 告 实验名称： 素数 班 级：统计111 姓 名：饶红梅 学 号：1102092005 探索实验一 素数 实验报告 一、实验背景与实验目的 德国数学家高斯说过，数学是科学的女王，而数论则是数学的女王。在数论这一充满了趣味而布满荆棘的领域中，有关素数的问题(如著名的Goldbach猜想)始终是最富有魅力最吸引人的研究问题。本实验将探索素数的规律及其相关的某些有趣问题：（1）素数表的构造；（2）素数的判别；（3）最大的素数；（4）构造生成素数的公式；（5）素数的分布。 二．实验计划. 1.素数的判别与个数 在大于1的自然数中，只能被1和它本身整除的数称为素数。 规定Nn=p1p2......pn+1，当n=1,...,20时判断Nn是否是素数，如果不是，那么Nn能不能表示成几个素因子相乘的形式。 改变n的取值范围，观察得出结论。 根据以上的结果，猜测素数是否有无穷多个，并给出相关的证明。 2. 素数表的构造 用Eratosthenes筛法和试除法列出1000内所有的素数，比较哪种方法所用的时间比较少。它们的原理为： Eratosthenes筛法的基本原理，将自然数列从2开始按顺序排列至某一整数N，首先，从上述数列中划除所有2的倍数（不包括2），在剩下的数中，除2外最小的是3.接着，从数列中划除所有3的倍数（不包括3），然后在剩下的数中，再划去5的倍数······ 这个过程一直进行下去，则最后剩下的数就是不超过N的所有素数。 试除法的基本原理：假设我们已经知道前n个素数p1=2,p2=3,...,pn，为找下个素数，我们从pn+2开始依次检验每一个整数N，看是否能被某一个pi(i=1,2,...,n)整除，若N能被前面的某个素数整除，则N为合数，否则N即为下一个素数pn+1。为了提高效率我们只需要用不超过N^(1/2)的素数去除就可以了. 3.素数的判别公式 对n=2 ,3 ,…, 100中不同的数,观察m ^( n - 1)被n整除所得的余数。 将m的值固定，变化n的值为2，3，……100 取m=2，观察2 ^( n - 1)被n整除所得的余数 取m=3，观察3 ^( n - 1)被n整除所得的余数 取m=4，观察4 ^( n - 1)被n整除所得的余数 ……… 如果我们固定的是n的取值，变化m的值，那么我们得出的结果又会怎样？ 取n=2，m=2,3,4,……，20，观察m^( 2 - 1)被2整除所得的余数 取n=3, m=2,3,……，20，观察m^( 3 - 1)被3整除所得的余数 取n=5,m=2,3,……，20，观察m^( 5 - 1)被5整除所得的余数 得出一般性结论，。 Mersenne数的素性判别： 形如2^n-1的数称为Mersenne数，通过Mersenne数我们可以研究数论中的相关性质。观察并考虑Mersenne数与n的关系，得出一般性的结论， 4.生成素数的公式 Fermat数：我们把形如+1表示出来的数称为Fermat数。Fermat数是否都是素数？在程序中增大n的值，很容易知道当n变大到一个特定的值时，Fermat数不再是素数。 既然Fermat数不能作为素数的生成公式，那么能不能寻求一个整系数单变量多项式，使得它能生出所有的素数。 首先考虑一次函数，显然是不行的。再考虑二次多项式，如：f(n)=+n+41，f(n)=-79n+1061，f(n)=6+6n+31，观察是否无论n如何变化，f(n)都是素数。若不是，再改变多项式的次数，观察得出的结果有什么不同。 若单变量整系数多项式不能生成所有的素数，那么多变量整系数多项式呢？ 判断以上的f(n ,m)是否生成的均是素数，它们之间有什么规律？ 5.素数的分布 在上面的实验中我们已经知道了素数是无穷多个的，而且素数的生成公式并不是很明了，但是它的分布会不会具有什么样的规律呢？ 实验中，用表示不超过n 的素数的个数，表示区间 [m,n] 内素数的个数，再计算﹑﹑以及﹑﹑﹑。从计算结果看，随着范围的扩大，素数是越来越稀还是越来越密？进一步，选取一些更长的区间，做同样的实验。将这些点画在图中，从图中能更清晰的看出素数的分布情况。 换一个角度考虑，从两个相邻素数间距的大小同样也可以看出素数的分布，这时我们还可以发现一些更有趣的规律。先求出1000以内的所有相邻素数的间距，并将点以（，）的形式画在直角坐标系中，观察图像的特点；增大n的值，再在另一个图中画出，从这些点的分布可以看出素数的间隔值的某些特征，以及它们的重复次数的多少，我们还发现：在增大N的值的同时，图中的点也会随之变高，也就是说最大间隔值在变