2-3.磁场的路和高斯定理doc.docVIP

§2-3安培环路定理 一，环路定理 定理的表述如下：?? 在磁场中沿任一闭合回路 ，的环量为： —— （3—1) 几点说明： 公式中的电流I是与积分回路套合的电流的代数和。与积分回路方向成右手关系的的电流为正，反之为负。图中 。 所谓套合必是闭合电流。 （2）的积分结果与积分回路L的形状 和方位无关，也与L外的电流无关。 (3)积分号下的是处的总磁感应强度，它由L内外所有的电流共同产生. 定理的证明 首先考察单个电流回路L1的磁场,并在场中沿任一闭路L2作积分 ： 。 ????? 式中、每移动一步乘该处的 與 不动，乘以L1每移动、 在处的的结果是一样的。我们就利用这一观点来求出 的结果。 为此先利用矢量运算公式： 由图看出，是L1上的移动的距离时扫过一个面积元： 而式括号中被积函数的内容正好是对所张的立体角。即： 式中沿L1移动一周的积分，则等价于整个回路L1移动??? 的过程中所扫过的带状 面积对（P点）所张的立体角 即 而沿L2的环路积分（沿L2移动一周）等价于（P 点）不动，令 L1回 路整体平行自身在沿L2的方向移动一周的过程中，所扫过的面积对P点所张的立 体角与的乘积。即： 上式中的数值有两种可能： 当L1与L2套合时，P点在L1扫过的封闭曲面以内。 当L1与L2不套合时，P点在L1扫过的封闭曲面以外。 因此： 当I(即L1)与L2套合时 当I与L2不套合时 定理得证。 以兩个矩形回路來說明，左图套合，右图不套合。 如果载流回路不只一个，则在处的总应为各载流回路在该处产生的场的叠加。 式中是与L套合的电流Ii的总磁场，是? L外的电流Ij的总磁场代入 （3-1）式有： 式中： 是对与L套合的电流求代数和。安培环路定理证明完毕。 从以上证明过程看出，电流回路Li必须闭合。因为只有闭合曲线沿闭合回路移动一周 扫过的曲面才可能形成完整的封闭曲面，对于研究点P的立体角才可能是或零。 二，电磁矢量的空間对称性 1，物体（系）的对称性。 任何物体都具有一定的对称性，它们可以用一些对称元素來表示，如对称面，对称轴，对称中心 等等。最特殊的对称元素是不变（称为恒元）如一条靜止的直线具有一个对称轴， 无数个对称面。 一個靜止的球体具有一个对称中心，无数对称轴和对称面。如果球体旋转起來， 它的对称性就降低了，这時它只有一个对称面了（除恒元外）。 电磁矢量的对称性反映了电磁场的对称性，而电磁场的对称性由场源的对称性决定。 如点电荷，线电荷，线电流-----等。 2，极矢量和轴矢量。 由矢量对于镜面（对称面）反射的性质不同，可区分为极矢量和轴矢量。 （1）极矢量在镜面反射時，其平行于镜面的分量不改变方向，（镜面对称） 其垂直于镜面的分量反向，（镜面反对称） 如位矢量，速度矢量，电场强度。。。。等。 轴矢量在镜面反射時，其平行于镜面的分量反向，（镜面反对称） 其垂直于镜面的分量不改变反方向，（镜面对称）如角速度矢量，力矩，磁感应强度。。。。等。 兩个极矢量的叉乘积是一个轴矢量。如 ， ， 由轴矢量的性可知，在对称面上轴矢量只有垂直于对称面的分量。因为假設它有平行分量，它既 然在面上，对称面通过了它，它就不会改变方向，而它的矢量性质又要求它改变方向， HYPERLINK file:///G:\\electromagnetic\\MAINTEXT\\NO.4\\4-3.htm \l 0#0 三.安培环路定理的应用 安培环路定理可以很方便地用于求解具有高度对称性电流分布载流体的磁场。 例1. 求无限长截流直导线的磁场。 设电流为I ，研究点到直线的距离为r , 解：如图所示，在垂直于电流的平面内、过研究点P作半径为 r的圆环回路L（安培环路定理允许将回路选为任意行状），因为轴矢量，其方向必沿环路 的切向，沿回路的积分为 得： 因L过P点，这也就是P点的的数值，方向沿L切线。 例２. 求无限大均匀载流平面外的磁场。 如图所示，设平面上线电流密度为（通过单位横截线的电流强度）,研究点Ｐ到平面的距离为d 。解：在垂直于电流的平面内过Ｐ点作一矩形回路，两底边与平面平行，长度为,到平面的距离相等。由的轴矢量性质，在电流面的方向必与平面平行且反向。 由回路定理 得： ? 例３