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弹性力学简明教程 （第四版〉 课后习题解答 徐芝纶 第一章 绪论 【 1-1】 试举例说明什么是均匀的各向异性体 ，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】 均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定 ：非均匀的各 向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】 均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土 。 【 1-2】 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作 为理想弹性体？一般的岩质地基和 土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】 能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性， 各向同性假定。 【解答】 一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体 ；一般的钢筋混凝土构件和 岩质地基不可以作为理想弹性体 。 【 1-3】 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】 (1） 连续性假定：假定物体是连续的 ，也就是假定整个物体的体积都被组成这 个物体的介质所填满 ，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理 量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示 他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性 的，fl]物体在对应形变的外力被去除后，能够完全 恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成 正比的涵义，亦即两者 之间是成线性关系的 ，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为 线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定 ：假定物体是均匀的 ，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整 个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的， 因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同 ，引用此 假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的 位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于 1。这样在建立物体变形以后的 平衡方程时 ，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与 形变的关系时，它们的二次幕或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分 方程都简化为线性的微分方程。 【 1-4】 应力和面力的符号规定有什么区别 ？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力 和正的面力的方向。 【解答】 应力的符号规定是 ：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时 （即正面时〉， 这个面上的应力 （不论是正应力还是切应力〉 以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向 为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时 （即负面时〉，该面上的应力以沿坐标轴的 负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。 面力的符号规定是 ：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。 由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相 反。 y 正 y 正面 负面 正的应力 正的面力 【 1-5】 试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。 【 解答 】材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负。 弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，作用于负坐标 面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负。 【 1-6】 试举例说明正的应力对应于正的形变。 Xτ ：‘亨 X τ ： ‘ 亨i -C. ;= -二 『·I σ【解答】 正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包 括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。 σ 正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下 ，产生轴向拉 F 应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。 正的切应力对应于正的切应变：在如图所示应力状态情况下 ， u - y y 切应力均为正的切应力，引起直角减小，故为正的切应变。 2 【 1-7】 试画出图 1-4 中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。 【解答】 X。＝ X Oz X y 正的体力、面力 正的体力、应力 【 1-8】 试画出图 1-5 中三角形薄板的正的面力和体力的方向 。 【解答】 X y Oz 【 1-9】 在图 1-3 的六面体上，y 面上切应力 的合力与z 面上切应力 rzy 的合力是否相 等？ 【解答】 切应力为单位面上的力 ，量纲为 E1MI-2 ，单位为N / m2 。因此，应力的合 力应乘以相应的面积 ，设六面体微元尺寸如 此×命×挠，则 y 面上切应力 7只的合力为 ： r＞々·dχ ·dz (a) z 面上切应力rzy 的合力为：  τ。·dx·dy (b) 由式 C a