泰州市2017-2018第一学期期末高二数学(文科)试题.doc

PAGE 高二数学（文） 第PAGE 3页 共4页 2017～2018学年度第一学期期末考试 高二数学(文科)试题 (考试时间：120分钟； 总分：160分) 命题人：张圣官 张 敏 审题人：杨鹤云 唐咸胜 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．命题“若，则”的逆命题为 ▲ ． 2．复数（为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为 ▲ ． 3．抛物线的准线方程为 ▲ ． 4．函数在处的切线的斜率为 ▲ ． 5．双曲线的渐近线的方程为 ▲ ． 6．椭圆在其上一点处的切线方程为． 类比上述结论，双曲线在其上一点处的切线方程为 ▲ ． 7．若“”是“不等式” 成立的充分条件，则实数的取值范围是 ▲ ． 8．抛物线上一点到其焦点的距离为，则 ▲ ． 9．已知，若（），则 ▲ ． 10．已知双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，则点到右准线的距离为 ▲ ． 11．为椭圆上一点，，则线段长度的最小值为 ▲ ． 12．若函数在处取得极小值，则的取值范围是 ▲ ． 13．已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为 ▲ ． 14．已知函数在上单调递增，则的取值范围为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分） 已知复数． ⑴求； ⑵若复数满足为实数，求． 16．（本题满分14分） 已知：，； ：方程表示双曲线． ⑴若为真命题时，求实数的取值范围； ⑵当为假命题，且为真命题，求实数的取值范围． 17．（本题满分14分）　 ⑴当时，求证：； ⑵已知，．试证明至少有一个不小于． 18．（本题满分16分） 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为万元，工厂一次性补贴职工交通费万元.设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和． ⑴求的表达式； ⑵宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值． 19．（本题满分16分） 已知椭圆的离心率为，左顶点为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，其中点在第二象限，过点作轴的垂线交于点． ⑴求椭圆的标准方程； ⑵当直线的斜率为时，求的面积； ⑶试比较与大小． 20．（本题满分16分） 已知函数的最小值为． ⑴设，求证：在上单调递增； ⑵求证：； ⑶求函数的最小值． 2017～2018学年度第一学期期末考试 高二数学(文科)参考答案 一、填空题 1．若，则； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．； 9．； 　10． ； 　 11．； 12．； 13． 14． 二、解答题 15. 解：⑴ ⑵∵ ∴ ∵为实数 ∴ ∴ ∴ ∴ 16. 解：⑴∵， ∴，解得 ⑵∵方程表示双曲线 ∴，解得 ∵为假命题，且为真命题 ∴ ∴ 17．证明：⑴ ∵ ∴ ∴ ⑵假设都小于，即 则有 ① 而 ② ①与②矛盾 故至少有一个不小于． 18. 解：⑴ 整理得， ⑵ 由得 所以在上单调递减，在上单调递增 故当时，取得最小值 答：⑴ ⑵宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元． 19．解：⑴因为左顶点为，所以 因为椭圆的离心率为，所以，解得 又因为，所以 故所求椭圆的标准方程为 ⑵因为直线过原点，且斜率为 所以直线的方程为 代入椭圆方程解得 因为，所以直线的方程为 从而有 故的面积等于 ⑶方法一： 设直线的方程为， 代入椭圆方程得 设，则有，解得 从而 由椭圆对称性可得 所以 于是 故 从而 所以 因为点在第二象限，所以，于是有 方法二： 设点，则点 因为，所以直线的方程为 所以 从而 从而有 20. 解：⑴ ∵ ∴在上单调递增 ⑵由⑴可知在上单调递增 ∵ ∴存在唯一的零点，设为，则且 当时，；当时， 从而在上单调递增，在上单调递减 所以的最小值 ∵ ∴ ∴ ∴（当且仅当时取等号） ∵ ∴ （第二问也可证明，从而得到） ⑶ 同⑴方法可证得在上单调递增 ∵ ∴ ∴存在唯一的零点，设为，则且 所以的最小值为 ∵ ∴ ∴，即 由⑵可知 ∴= ∵在上单调递增 ∴ 所以的最小值为