2019年高考数学(理)备考之百强校大题狂练专题5.4-定点问题(第01期).docVIP

一、解答题 1．已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点． 【答案】（1）;（2）． 【解析】 【详解】 （1）解：∵点在椭圆上，∴， 又∵离心率为，∴，∴， ∴，解得，， ∴椭圆方程为． （2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为， 联立，得， 设，，则，， ∴， 【点睛】 （1）本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中直线的定点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出直线的方程为，，其二是讨论当时，直线也经过定点. 2．已知离心率为的椭圆过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点. （1）求椭圆方程； （2）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标. 【答案】（I）（II） 【解析】 【分析】 【详解】 （1）依题意：有 解得，所以椭圆的方程为 （2）易知直线的斜率是存在的，故设直线方程为 由得： 设，则 设得 即 得 代入可得：即 即 即 因直线AB不过点，知，故 所以直线过定点 【点睛】 本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过定点，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答． 3．已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为。 （1）求曲线的轨迹方程； （2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，设点，直线交于,求证：直线经过定点. 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【详解】 （1）由已知， 轨迹为双曲线的右支，，，， 曲线标准方程 （2）由对称性可知，直线必过轴的定点 当直线的斜率不存在时， ，，，知直线经过点 当直线的斜率存在时，不妨设直线，， 直线，当时，， 得，， 下面证明直线经过点，即证，即, 即,由， 整理得，，即 即证经过点，直线过定点 【点睛】 (1)本题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和双曲线的位置关系问题，考查直线的定点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2问的关键有二，其一是转化为证明，其二是转化成证明，利用韦达定理即可证明. 4．已知一定点，及一定直线：，以动点为圆心的圆过点，且与直线相切． (Ⅰ)求动点的轨迹的方程； (Ⅱ)设在直线上，直线，分别与曲线相切于，，为线段的中点．求证：，且直线恒过定点． 【答案】（1）动点的轨迹的方程为；（2）见解析. 【解析】 (2)依题意可设，，， 又，∴，∴， ∴切线的斜率， ∴切线：，即， 同理可得：切线的斜率，：， 点睛：1.求定值问题常见的方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． 5．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6. (1)求该抛物线的方程； (2)已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点，并说明理由. 【答案】（1）；（2）过定点 【解析】分析：（1）根据抛物线性质求出p，得出抛物线方程；（2）设MD斜率为k，联立方程组，求出D，E的坐标，得出直线DE的方程，从而得出结论． 详解：（1）由题意设抛物线方程为，其准线方程为， 到焦点的距离等于到其准线的距离， 所以抛物线方程为. 点睛：（1）本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题.(2) 定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点. 6．已知抛物线：的焦点，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且. （1）求的值； （2）已知点为上一点，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) . (2) 直线方程为，恒过点. 【解析】 详解：（1）设，由抛物线定义， 又，即，解得 将点代入抛物线方程，解得. （2）