拉普拉斯变换与其应用(补充内容).pptVIP

1 拉普拉斯变换的定义 Laplace变换是求解线性常微分方程常用的一种数学工具。与线性常微分方程的经典求解方法相比，Laplace变换有如下两个显著的特点： ●只需一步运算就可以得到微分方程的通解和特解。 ●微分方程通过Laplace变换转化成含有s的代数方程，然后运用简单的代数法则就可以得到代数方程在s域上的解，而只要再作一次Laplace反变换就可以得到最终我们所需的时域上的解。 1 拉普拉斯变换的定义 拉氏变换将原来的实变量函数 转化为复变量函数 。 拉氏变换是一种单值变换。 和 之间具有一一对应的关系。通常称 为原函数， 为象函数。 2 拉普拉斯变换的基本性质 终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。 拉普拉斯变换及其应用 1 拉普拉斯变换的定义 2 拉普拉斯变换的基本性质 5 习题 4 拉普拉斯变换应用实例 3 拉普拉斯反变换 * 1. 线性性质 齐次性：设 则 拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性 叠加性：设 则 2 拉普拉斯变换的基本性质 2.微分性质 设 可得各阶导数的拉氏变换为 2 拉普拉斯变换的基本性质 * 证 ： 2 拉普拉斯变换的基本性质 特别地,当 时, 2 拉普拉斯变换的基本性质 3.积分性质 设 原函数 积分的拉氏变换为: 2 拉普拉斯变换的基本性质 * 2 拉普拉斯变换的基本性质 4.位移性质 设 * 5.延迟性质 2 拉普拉斯变换的基本性质 设 式中: 为任意实数。 的函数图形如图3所示。 图3 * 2 拉普拉斯变换的基本性质 6.初值定理 若 且 存在 则 * 2 拉普拉斯变换的基本性质 7.终值定理 若 且 存在 则 终值定理的应用条件为： （1）当t→∞时，f(t)有意义（有极限）。例如 无极限，那么就不能应用终值定理。 （2）若已知F(s)时，当sF(s)的分母多项式的根处在虚轴左半s平面（原点除外）时，定理可用。 例如， ，分母多项式的根在虚轴上，定理不可 用； ，分母多项式的根在原点，可以用该定理。 拉普拉斯变换及其应用 1 拉普拉斯变换的定义 2 拉普拉斯变换的基本性质 5 习题 4 拉普拉斯变换应用实例 3 拉普拉斯反变换 * * 3 拉普拉斯反变换 由象函数F(s)求取原函数f(t)的运算称为拉氏反变换，它和拉氏变换是一一对应的。这里介绍利用部分分式展开，然后用查表的方法进行拉氏反变换，求取原函数。 一一对应 f(t) F(s) 3 拉普拉斯反变换 控制系统中的象函数是s的有理分式，可写成下列形式： 式中:系数 和 都是实常数，n和m是正整数，通常mn。这里利用部分分式分解法求解，先将B(s)/A(s)化为一些简单分式之和，再查表得到。 为了将F(s)写为部分分式之和的形式，首先把F(s)的分母因式分解，即 式中: 为A(s)=0的根，称为F(s)的极点。 * 根据极点的不同特点，部分分式分解法有以下两种情况： （1）A(s)=0且无重根 若A(s)=0且无重根，则F(s)可展开成n个简单的部分分式之和，即 系数可由右式求出： 按上式将各待定系数全部求出后，再查表求出原函数。 3 拉普拉斯反变换 * 3 拉普拉斯反变换 例8 求 的原函数 将F(s)的分母因式分解为 查表可求得原函数为 习题：求 的原函数 将F(s)的分母因式分解为 五、拉氏反变换 * 3 拉普拉斯反变换 例9 求 的原函数 将F(s)的分母因式分解为 查表可求得原函数为 * （2）A(s)=0且有重根 设A(s)=0有r个重根p1，则F(s)可写为 3 拉普拉斯反变换 将上式展开成部分分式 式中: 为F(s)的重极点; ，…， 为F(s)的(n-