专题讲座二从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论根据古埃及的草.DOCVIP

专题讲座二? 从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论 ? 根据古埃及的草片文书记载，早在公元前1700年左右，人们就发现，当a≠0时，ax = b有根x = b/a，随着岁月的流逝，数学的发展，到了公元前几世纪，巴比伦人实际上已经使用过配方法得知（当a≠0时）有根 当时，人们只承认现在称之为正实根才是根，零，负数，无理数和复数的概念和理论迟至十六世纪到十八世纪才得到承认并逐步完善。根据巴比伦文书记载，当时已解决了二次方程： 得出的解答是： 这就促使人们进一步思考，是否对于任意次数的方程都能找到这种求根公式？寻找三次方程的求根公式，经历了二千多年的漫长岁月，直到十六世纪欧洲文艺复兴时期，才由几个意大利数学家找到，这就是通常据说的卡丹（Cardan, 1501——1576）公式，其原始想法是：在 中作变量代换后把方程化为 ?????????? （1） 它不再含有平方项了，设，这里m和n是两个待定的数，则有 如果取m, n满足 则对应的y值必满足（1）式。另一方面，由 可得 所以，当取 时，并令，就得原三次方程的一个根 它的另两个根是 这里（其中）是的两个不是1的根。 在三次方程求根公式发明过得中，有一个十分有趣的故事，四百多年前，意大利盛行数学竞赛，竞赛的一方是菲俄（Fior，十六世纪前半叶），他是意大利波洛那（Bologna）数学学会会长费罗（Ferro，1465——1526）的学生。另一方面是威尼斯的数学教授塔尔塔里亚（Taritalia，1500——1557），他小时候就受伤后“口吃”，从小学拉丁文，希腊文，酷爱数学，与费罗一样，对求解三次方程很有研究，在1530年，塔尔塔里亚曾解决了另一个挑战者科拉(Colla)提出的以下两个三次方程求解问题：。这引出了菲俄的不服，定于1535年2月22日在米兰市大教堂公开竞赛，双方各出三十个三次方程。结果塔尔塔里亚在两个小时内解完，而菲俄却交了白卷。1541后， 塔尔塔里亚得到了三次方程的一般解法，准备在译完欧几里得和阿基米德的著作后，自己写一本书公开他的解法。此时，卡丹出场了。他再三乞求塔尔塔里亚给一首 语句晦涩的诗。这首诗写得很蹩脚，但的确把解法的每一步骤都写进去了，他本人说：“本诗无佳句，对此我不介意，为记这一规则，此诗堪作工具”。卡丹在得到 这一切后，却背信弃义，于1545年把这一解法发表在《大法》这本书中，并断定塔尔塔里亚的方法是费罗的方法，这是与菲俄竞赛时得知的。这引塔尔塔里亚的极大愤怒，并向卡丹宣战。双方各出31题，限定15于交卷。卡丹派他的学生费拉里（Ferrari，1522——1565） 应战，结果，塔尔塔里亚在七天之内解出大部份题目，而费拉里五个月才交卷，仅解对了一题。塔尔塔里亚本想完成一部包含他的新算法在内的巨著，可惜壮志未酬 就与世长辞了，在三次方程的求解问题解决后不久，卡丹的仆人和学生费拉里又得到了四次方程的求解方法。其主要思路是：对于四次方程 ????????? （2） 引入参数t ，经配方化为 ??? ???（3） 容易验证（2）与（3）是一样的。为了保证（3）式右边是完全平方，可令它的判别式为0： 即选择t是三次方程 的任一根。把这个根作为（3）中的t值就有 把右边移到左边并分解因式得到两个二次方程 这 样，就把求四次方程的根化为求一个三次方程和两个二次方程的根，因此认为四次方程的求解问题也解决了。既然有了这个突破，数学家们就以极大的兴趣和自信致 力于寻找五次方程的求解方法。他们发现，对次数不超过四的方程，都能得到根的计算公式，每个根都可用原方程的系数经过加减乘除和开方运算表出。我们把这件 事简称为可用根号求解，于是人们断言：对于五次方程来说，也一定存在这种求根公式。关于这一点，当时的一些著名数学家，如欧拉（Euler，1707——1783），范得蒙（Vandermonde，1735——1796），拉格朗日（Lagrange，1736——1813），鲁菲尼（Rullini，1765——1822）和高斯（Gauss，1777——1855）等都曾深信不疑，因而都曾尽力寻找，但都以失败告终。 首先怀疑这种求根公式存在性的是拉格朗日。他透彻地分析了前人所得的次数低于五的代数方程的求解方法，发现都可以作适当的变量代换化为求解某些次数较低的辅 助方程（它们被后人称为拉格朗日预解式），然而对于五次方程按这种方法得到的辅助方程的次数却升到六次，于是此路不通！1771年，拉格朗日发表长篇论文《关于方程的代数解法的思考》提出了这个怀疑。到了1813年，他的弟子，意大利的内科医生鲁菲尼终于证明了拉格朗日所采用的寻找预解式的方法对于五次方程的确是失效的。早在1801年，高斯也意识到这个问题也许是不能解决的。可是，包括拉格朗日在内都没有给出“不存在性”的证明。 第一个证明“高于四次方