分数阶延迟微分方程数值方法的研究-计算数学专业论文.docxVIP

Classified Index: O241.8 U.D.C: 519.09 Dissertation for the Master Degree in Science NUMERICAL METHODS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS OF FRACTIONAL ORDER WITH TIME-DEPENDENT DELAY Candidate: Feng Riyue Supervisor: Prof. Xu Yang Academic Degree Applied for: Master of Science Speciality: Computational Mathematics Affiliation: Department of Mathematics Date of Defence: June, 2009 Degree-Conferring-Institution: Harbin Institute of Technology 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 - - I - 摘 要 延迟问题也称时滞问题，它在各个领域都有广泛应用，是目前各学科普遍 面临的重要研究对象，分数阶延迟微分方程是其中一个新型的研究方向。与经 典微分方程相比，分数阶微分方程能够更好的描述系统的动力学性质。由于它 在众多领域显示出广泛的应用前景，目前对这一方向的研究在国际上掀起一股 热潮。随着分数阶微积分理论的发展和现实的需要，现在它已经成功应用到科 学和工程各个领域。然而，分数阶微分方程又有着与整数阶方程所不同的特性， 因此，研究分数阶微分方程解的性质对实际计算具有重要意义。 本文的开始介绍了分数阶延迟微分方程的发展历史以及研究现状，对分数 阶微分方程有了初步了解；随后介绍了分数阶微积分定义的相关理论。在此基 础上，以分数阶微分方程为模型，探讨了其解析解的稳定性以及数值解的收敛 性。 首先，对于分数阶延迟微分方程，在介绍了李雅普诺夫稳定性之后，通过 对模型方程进行拉普拉斯变换，得到其所对应的特征多项式和特征方程，利用 拉普拉斯变换终值定理和复平面理论，研究了分数阶延迟微分方程的稳定性， 给出方程的零解在李雅普诺夫意义下渐近稳定的条件。 其次，针对分数阶微分方程，构造求解方程的数值方法。本文给出分数阶 的龙格库塔方法，研究了数值方法的收敛性。结合树理论知识，建立了龙格库 塔方法系数和树节点之间的对应关系，通过推导，得到数值方法的阶条件。随 后给出阶条件的几个具体应用，为实际系统中出现的分数阶模型的求解提供了 可行性。 关键词：分数阶；延迟微分方程；李雅普诺夫渐近稳定性；龙格库塔方法 - - II - Abstract In this paper, we consider the delay differential equations with fractional order. It is extensively used in some fields such as dynamic systems. Delay equations are widely used in various fields. Fractional order delay differential equations is an important subject which is one of the new research direction. Compared with the classical differential equations, fractional order differential equations are better to describe the nature of dynamic systems. Since it shows the prospects for a wide range of applications in many areas, this direction launched a research boom in the international community. With the development of fractional calculus theory and practical needs, now it has been successfully applicated on science and engineering fields. However, fractional order differential equations have different characteristics with integer ord