各向异性的非线性波动方程解的整体适定性-系统理论专业论文.docxVIP

各向异性的非线性波动方程解的整体适定性 摘 要 本文研究一类带有强阻尼项的各向异性的非线性波动方程的初边值问题, 在不同初 始能量状态下 0 E(0) d, E(0) = d, 和 E(0) 0 讨论了此双曲方程解的整体存在性 与不存在性以及解的长时间行为. 特别地, 本文给出了此波动方程的解在任意初始能量 下有限时间内爆破的充分条件. 应用位势井理论, 凸性方法, 乘子算法, 我们较为精细地 论证了在各向异性的 W 1 (?) 空间中波动方程解的结构和性质, 旨在对物理与工程中的 0,p? 此类问题模型有理论指导作用. 本文首先建立所研究问题的变分理论, 定义相应问题的能量守恒式和一些相关 的泛函, 在正定能量的状态下给出对应的位势井族的相关性质和解的不变集合. 结合 Galerkin 方法与能量估计法我们得到相应问题整体弱解存在的条件. 进一步, 讨论了在 强阻尼存在的状态下解的长时间行为. 利用位势井方法与凸性方法在三种不同初始能量 0 E(0) d, E(0) = d, E(0) 0 状态下给出解的整体存在与不存在性定理. 到目前为止, 众多应用位势井理论得到的研究成果都集中在各向同性的空间, 而本 文应用位势井方法解决了各向异性的非线性波动方程的解的整体适定性问题. 本文首次 讨论了各向异性的非线性波动方程具临界初始能量时解的整体适定性问题. 据我们所知, 关于本文研究的各向异性的非线性波动方程在临界初始能量下是否具有渐近性质是公 开问题. 本论文针对这一公开问题进行了讨论, 给出了具强阻尼项的各向异性的非线性 波动方程解的长时间行为. 另外, 本文在研究各向异性非线性波动方程整体解不存在性 的方法上取得了重要的突破, 得到了解在高初始能量 E(0) 0 下有限时间爆破的条件. 关键词: 波动方程; 各向异性; 初边值问题; 渐近行为; 整体存在性; 整体不存在性; 有限时 间爆破; 位势井理论; 高初始能量 哈尔滨工程大学硕士学位论文 Abstract This work carries out qualitative studies on the initial boundary value problem of solutions for the nonlinear wave equation with anisotropy and a source term and considers the global existence, global non-existence and asymptotic behavior of solutions at three different initial energy levels E(0) d, E(0) = d and E(0) 0. In particular, a finite time blow up result of solutions with arbitrarily initial energy is given in this thesis. Applying potential wells method, concavity method and multiplier method, we describe in detail the structure and properties of solutions for the wave equations with anisotropy and a source term in W 1 (?) space, which 0,p? will be meaningful for the same problem in the view of physics and engineering. This work establishes the variational theory, the energy conservation equation and some corresponding functionals of the considered problem and obtains some relevant properties of the family of potential wells and invariant sets of solutions for the positive defined energy. Combining the Galerkin method and energy estimate method, we get the condition for the global existence of weak solutions and d