低维凝聚体中的孤子动力学：Darboux变换法-凝聚态物理专业论文.docxVIP

I I 摘 要 实验成功地在玻色-爱因斯坦凝聚体(BEC)中观测到亮孤子和暗孤子，从而 有关非线性物质波的研究成为人们广泛研究的热点之一。BEC 形成以后可以用 基于平均场理论的 Gross-Pitaevskii(GP)方程来描述，对于 GP 方程而言在实验中 可调控的主要物理量是 s-波散射长度(可以描述原子之间的相互作用强度)和外部 囚禁势阱。其中原子之间的相互作用是 BEC 物理性能研究中的核心问题，此外外 部囚禁势阱对 BEC 的非线性动力学行为也起到非常重要的作用。因此，本文主要 从 GP 方程出发，利用 Darboux 变换法，解析的地研究了处于恒定外部势阱中或不 同生长模型中的 BEC 的非线性动力学性质，得到了一些有意义的研究成果，具体 内容如下： 第一章，阐述了 BEC 的基本理论、实验进展情况及研究意义。BEC 具有重 要的基础研究意义和美好的应用前景。而且 BEC 极有可能像激光那样给人类带 来另外一次技术革命。 第二章，介绍了我们的研究方法：Darboux 变换法。基本思路是：利用非线 性方程的一个解及其 Lax 对的解，用代数及微分运算得出非线性方程的新解。 Darboux 变换是求解非线性微分方程的一种非常实用的方法，比多尺度法、双线 性变换法等其它方法更简单、更实用。 第三章，考虑凝聚体中玻色子之间的相互作用为常数，解析地研究了局限于 恒定不变外部势阱中的玻色-爱因斯坦凝聚体的非线性动力学性质。结果发现凝 聚体中的粒子之间的相互作用强度对其非线性动力学特征有重要的影响。当玻色 子之间的相互作用相当强时，凝聚体中只会存在亮孤子；而玻色子之间的相互作 用相当弱(小于临界值)时，凝聚体中会出现亮孤子和暗孤子交替演化。 第四章，考虑凝聚体中原子相互作用随时间作指数形式变化，利用 Darboux 变换解析地研究了一维生长的 BEC 的非线性动力学行为。结果表明：凝聚体的 生长对其中的孤子的振幅有重要的影响。当凝聚体没有生长时，凝聚体中会出现 交替稳定的亮孤子。而当凝聚体中原子减少时，亮孤子的振幅会减小；当凝聚体 从外部热原子云中吸取原子时，亮孤子的振幅会增大。 第五章，研究了周期性变化生长模型中 BEC 的双孤子的相互作用性质。结果 表明：在凝聚体中原子间相互作用随时间作周期性变化和凝聚体中的粒子数发生 改变的影响下，凝聚体中的两个孤子会发生分离和融合等一些有趣的现象。并且 这种现象在当前实验条件下就能够被观测到。 最后，我们对本文的研究工作做了一个简单的总结和展望。 关键词：玻色-爱因斯坦凝聚体；Gross-Pitaevskii 方程；原子间相互作用； 孤子；Darboux 变换法 II II ABSTRACT Since the bright and dark solitons in the Bose-Einstein Condensates (BECs) have been observed experimentally, the field of nonlinear matter waves has received extensive attention. At the mean-field level, the Gross-Pitaevskii (GP) equation may describe some characteristics of BEC after the condensates appeared. The observed maroscopic quantities in GP equation are s-wave scattering length (it may describe interatomic interactions) and the external trap. Meanwhile the interatomic interactions play an important role on the investigations of the physical properties of BEC, and the external traps greatly affect the nonlinear dynamics properties of BEC. So in this thesis, by using Darboux transformation, we study analytically nonlinear dynamics properties of BEC in an invariable external potential or with different growing model, and obtain some significa