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数学在自然科学中不可思议的有效性 The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences Eugene Wigner 数学，正确的观之，不但拥有真理，而且是至高的冷峻之美，就像雕塑那样，并不吸引我们较 弱本性的任何部分，并不是绘画或音乐的璀璨外饰，然而是高山仰止般的纯粹，而且就好似最 伟大艺术作品可以显示的那样有一种坚毅的完美。高兴、升华的灵魂在比人更多的意义上是最 高美德的试金石，就像肯定在诗中那样，要在数学中追寻。 --罗素《数学研究》( Study of Mathematics ) 有一个故事关于两个朋友，他们是高中时的同班同学，在谈论其工作。其中一个人是一位统计学 家并致力于人口趋势。他给老同学显示了一个重印本。这本重印本就像通常那样以高斯分布开始， 而且这位统计学家给他的老同学解释用于当前人口、平均人口的那些符号之意义，诸如此类。他 的同学有一点不相信而且不是很肯定这位统计学家是否在和他开玩笑。“你怎样才能知道它呢？”， 他问到。“还有这里的符号是什么意思？”，“哦”，这位统计学家说“这是 pi ”。“那是什 么？”“圆周长和它直径的比”。 “好吧，现在你把你的笑话搞得太过了”，老同学说，“人 口肯定和圆周长没什么关系”。 自然地，我们都倾向于嘲笑这位同学天真的方式。话虽如此，当我听到这故事时，我不得不承认 一种怪异的感觉，因为这位同学的反应肯定只是违背了平白的常识。不是很多天以后，当有人来 找我并表达他关于“当我们对我们的理论选取基于其上进行测试的那种数据时，我们作出的是一 种相当狭窄的选择”这种事实的迷惑时【1．这个评论是 F.Werner 在他还是 Princeton 里的一 个学生时提出来的】，我甚至更加困惑了。“如果我们作出了一种理论其聚焦所关注的现象是我 们忽视的，并且忽视一些现在统摄了我们所关注的现象，那么我们就不能构造和目前所关注下没 有多少共通处的另外一种理论，但虽然如此，这种理论却能解释像目前理论一样多的现象，我们 是怎么知道的？” 前面两个故事解释了两个要点，其是这次谈论的主题。第一点是，数学概念出现在完全不曾预料 的连接中(mathematical concepts turn up in entirely unexpected connections)。还有，它们常常 允许对这些连接中的现象有一个不曾预料的紧密且精确的描述。第二，正是因为这种上下文，而 且因为我们不理解它们有用性的原因，我们不能知道是否以数学概念术语来形式化的一种理论是 独特合适的(uniquely appropriate)。我们现处在类似于这样的的一个位置 —— 一个有一大串钥 匙的人，他已经成功打开了若干扇门并总是在头两次试验时撞上正确的钥匙。他变成了关于“钥 匙和门之间独特的对号入座”的怀疑论者。 关于这些问题绝大多数将要说的不是新东西；可能以这种或那种形式发生在大多数科学家那里。 我的首要目标是从若干方面来揭示它。第一点在于，数学在自然科学中的巨大有用性是某种处于 神秘边缘的东西(is something bordering on)，而且对之没有什么合理解释。第二，正是数学概 念的这种神奇有用性对我们物理理论的唯一性 (the uniqueness of our physical theories) 提出了 问题。为了确立起第一点，就是数学在物理学中扮演了一个不可思议的重要角色，在以下问题上 稍微说一下说是有用的，“什么是数学？”，然后“什么是物理？”，然后，数学是如何进入物 理理论的，最后， 为何数学在物理学中所扮演角色的成功却表现的如此令人困惑 (why the success of mathematics in its role in physics appears so baffling ) 。关于第二点要说就少很多了： 物理理论的唯一性。对这个问题的一个合适答案需要目前尚未着手开始的精致实验和理论工作。 什么是数学？ 有人曾说，哲学