李正元高等学强化讲义.doc

PAGE PAGE 1 第一讲 极限、无穷小与连续性 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是： ①掌握求极限的各种方法． ②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法． ③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）． ④复合函数、分段函数及函数记号的运算． §1 极限的重要性质 1．不等式性质 设，且A＞B，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞yn． 设，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥yn，则A≥B． 作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设，且A＞0，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞0．设，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥0，则A≥0． 对各种函数极限有类似的性质．例如：设，且A＞B，则存在δ＞0，使得当＜δ有f（x）＞g（x）．设，且存在δ＞0，使得当0＜｜x－x0｜＜δ时f（x）≥g（x），则A≥B． 2．有界或局部有界性性质 设，则数列｛xn｝有界，即存在M＞0，使得｜xn｜≤M（n = 1，2，3，…）． 设则函数f（x）在x = x0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M＞0，使得当0＜｜x－x0｜＜δ时有｜f（x）｜≤M．对其他类型的函数极限也有类似的结论． §2 求极限的方法 更多考研公共课资料，关注微信公众号：kaoyanyun 1．极限的四则运算法则及其推广 设，则 只要设存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“”，“”，“0·∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即： 1°设，则.（）又B≠0，则．2°设，当x→x0时局部有界，（即，使得时），则 ． 设，当x→x0时｜g（x）｜局部有正下界，（即?δ＞0，b＞0使得0＜｜x － x0｜＜δ时｜g（x）｜≥b＞0），则 ． 3°设，，则，又?δ＞0使得0＜｜x － x0｜＜δ时f（x）g（x）＞0，则 ． 4°设，x→x0时g（x）局部有界，则（无穷小量与有界变量之积为无穷小．） 2．幂指函数的极限及其推广 设 只要设存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞”，“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形．这是因为仅在这三个情况下是“0·∞”型未定式． 1°设 = 0（0＜｜x－｜＜δ时f（x）＞0），，则 2°设 = A＞0，A≠1， = + ∞，则 3°设 = + ∞，，则 【例1】 设 【分析】 【例2】设｛an｝，｛bn｝，｛cn｝均为非负数列，且则必有 （A）an＜bn对任意n成立． （B）bn＜cn对任意n成立． （C）极限不存在． （D）不存在． 用相消法求或型极限 【例1】求 【解】作恒等变形，分子、分母同乘 ． 【例2】求 【解】作恒等变形，分子、分母同除得 利用洛必达法则求极限 【例1】设f（x）在x = 0有连续导数，又 求． 【例2】求． 【例3】求． 【例4】求． 【例5】若，则． 【例6】求． 【例7】设?＞0，?≠0为常数且，则（?，?） = __________． 【分析】∞－∞型极限． 因此（?，?） = ． 分别求左、右极限的情形，分别求的情形 【例1】设，求． 【例2】求 利用函数极限求数列极限 求． 【例2】求． 【解1】 转化为求 【解2】用求指数型极限的一般方法． 转化为求 （等价无穷小因子替换），余下同前． §3 无穷小和它的阶 更多考研公共课资料，关注微信公众号：kaoyanyun 1．无穷小、极限、无穷大及其联系 （1）无穷小与无穷大的定义 （2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系 其中 o（1）表示无穷小量． 在同一个极限过程中，u是无穷小量（u≠0）?是无穷大量．反之若u是无穷大量，则是无穷小量． 2．无穷小阶的概念 （1）定义 同一极限过程中，?（x），?（x）为无穷小， 设 定义 设在同一极限过程中?（x），?（x）均为无穷