倒易点阵习题.docVIP

例题 2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明] 选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示， 其中a是立方晶胞边长，是平行于立方体边的正交的单位矢量。 初基晶胞体积 根据式(2．1)计算倒易点阵矢量 于是有： 显然正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是． 同理，对面心立方点阵写出初基矢量 如图1.10所示。 初基晶胞体积。 根据式(2．1)计算倒易点阵矢量 显然，正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是． 2．2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是，这里是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身． [证明] (a) 倒易点阵初基晶胞体积为，现计算．由式(2．1)知， 此处 而 这里引用了公式：。 由于，故有 而 故有 或写成 倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的倍。 (b) 现要证明晶体点阵初基矢量满足关系 有前面知： 令 又知 ，代入上式得： 同理 可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身． 2．3 面间距 考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl)，(a) 证明倒易点阵矢量垂直于这组平面(hkl)；(b) 证明两个相邻的点阵平面间的距离d(hkl)为： (c) 证明对初基矢量互相正交的晶体点阵，有 (d) 证明对简单立方点阵有 证明 (a) 参看图2．3，在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面ABC在三个晶轴上的截距分别是． 现要证明G(hkl)垂直于ABC，只需证明G(hkl)垂直于平面ABC上的两个矢量CA和CB即可． ， 用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2．2)，立即可得 同理， 故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl)． (b) 点阵平面(hkl)的面间距d(hkl)为 (c) 如果晶体点阵的初基矢量彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交． 设 由倒易点阵基矢的定义 及 得 于是面间距为 (d) 对立方晶系中的简单立方点阵，，用(c)的结果可得 2．4 二维倒易点阵 一个二维晶体点阵由边长AB＝4，AC=3，夹角BAC＝的平行四边形ABCD重复而成，试求倒易点阵的初基矢量． [解] 解法之一 参看图2．4，晶体点阵初基矢量为 用正交关系式(2．2)求出倒易点阵初基矢量。设 由 得到下面四个方程式 (1) (2) (3) (4) 由式(1)得： 由式(2)得： ，即 解得： 由式(3)得： 代入式(4)得： 于是得出倒易点阵基矢 解法之二 选取为方向的单位矢量，即令 于是初基晶胞体积为 倒易点阵基矢为 对二维点阵，仅取两个方向，于是得 2．5 简单六角点阵的倒易点阵 简单六角点阵的初基矢量可以取为 (a)证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为2π／c和，并且相对于正点阵转动了30?角； (b)当比率c／a取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值?如果正点阵的c／a比率取理想值，倒易点阵的这个比率又是多少? (c)绘出简单六角点阵的第一布里渊区，并计算其体积． [解] (a)选取简单六角点阵的初基矢量如图2．5所示． 初基晶胞体积为 倒易点阵初基矢量为 或写为 同正点阵初基矢量 比较看出，所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为和，并相对于正点阵绕转动了30?角(见图2．6)。 (b)设倒易点阵的点阵常数比为，出(a)可知 若，则有 故当正点阵的值为时，倒易点阵的和正点阵的有相同值。 若正点阵c／a＝，则倒易点阵的为 故当正点阵的c／a为理想值时，倒易点阵的这个比值为0.53． (c)简单六角点阵的第一布里渊区即倒易简单六角点阵的W—S晶胞．显然为一六角正棱柱(如图2．7)，其体积为 即倒易简单六角点阵初基晶胞的体积为 2．6 底心正交点阵的倒易点阵 证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心正交点阵． [证明] 底心正交点阵的惯用晶胞如图2．8所示．选取初基矢量为 初基晶胞体积为 倒易点阵基矢为 由图2．9可以看出，这组基矢所确定的仍是一底心正交点阵，点阵常数为。 2．7 三角点阵的倒易点阵 三角点阵初基矢量具有相等长度a，彼此夹角为θ，试证明三角点阵的倒易点阵仍为三角点阵，且倒易点阵初基矢量的长度为。 其中是倒易点阵初基矢量间的夹角，满足 -cosθ*＝cosθ／(1+cosθ) [证明] 三角点阵三个初基矢量的大小相等，且彼此夹角亦相等．现令初基矢量为 (1)