乘积锥上的随机不动点定理及其应用-基础数学专业论文.docxVIP

目录 摘要 i Abstract ii 1 1 0.1 研究背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.2 预备知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 第 1 节 乘积锥上随机全连续算子的随机不动点定理 7 1.1 乘积空间中一类随机算子的随机拓扑度乘积公式 . . . 7 1.2 乘积锥上的随机不动点定理 . . . . . . . . . . . . . . . 12 第 2 节 一类二阶随机微分系统正解的存在性 19 2.1 引 和基本假设 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 主要结果及其证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 一些例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 参考文献 31 攻读硕士学位期间发表的论文 35 5 致 谢 37 摘 要 本文主要考虑乘积锥 P1 × P2 上随机全连续算子的随机不动点问题, 首先针对 乘积锥上随机全连续算子的随机不动点指数的计算, 建立了随机不动点指数的乘 积公式, 进而结合随机不动点指数的性质和随机不动点指数计算方面的结果, 得到 一些乘积锥上随机全连续算子的不动点定理. 作为应用, 考察了一类Dirichlet边值 条件下二阶随机微分系统正解的存在性. 在本文中, 我们首先引用了一些经典拓扑度的概念, 随后给出了概率论方面的 基本概念和随机不动点指数的定义及其性质. 在第一节中, 我们结合随机拓扑度的相关知识, 分别建立了乘积空间中各类映 射的随机拓扑度的乘积公式, 最后建立了乘积锥上随机全连续映射的随机不动点 指数的乘积公式, 在此基础上结合李国祯在随机不动点指数计算方面的结果, 建立 了乘积锥上随机映射的随机不动点定理. 本章的结果, 推广了程锡友等人的相关结 果, 是这些不动点定理的随机化. 在第二节中, 作为对第一节得到的随机不动点理论的应用, 我们考虑了一类二 阶随机微分系统 ? ? ? x//(t, ω) = f1(ω, t, x(t, ω), y(t, ω)), t ∈ (0, 1), ?? ? y//(t, ω) = f2(ω, t, x(t, ω), y(t, ω)), t ∈ (0, 1), ? ? ? x(0, ω) = x(1, ω) = y(0, ω) = y(1, ω) = 0 的随机正解的存在性. 其中对于任意的 ω ∈ ?, 非线性随机项 f1(ω) ∈ C(J × R+ × R+, R+), J = [0, 1], R+ = [0, ∞), 且关于 x 是超线性的, 而 f2(ω) ∈ C(J × R+ × R+, R+), J = [0, 1], R+ = [0, ∞), 且关于 y 是次线性的. 关键词: 拓扑度; 随机拓扑度; 随机不动点; 随机不动点指数; 随机微分系统. i Abstract In this paper, we considered the random fixed point theorems of random com- pletely continuous operator on product cone P1 ×P2 . We have established a random fixed point index product formula. Then some corresponding random fixed point theorems of completely continuous operator on product cone had been established. In the end, we considered the existence of random positive solutions of a second- order random differential systems with Dirichlet boundary conditions. First, we have listed some fundamental knowledge on topological degree, prob- ability theory and random fixed point index. In the first chapter, we have established product formula of