2015年考研数学二真题及答案解析整理版.docVIP

2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)2+∞1 (C)2+∞1 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 2+∞ 2+∞ 2+∞ 2 =2 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数fx=limt→0(1+sin (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“1∞”型极限，直接有 =e fx在 且limx→0fx=limx→0e 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数fx=xαcos (A)α-β (C)α-β 【答案】A 【解析】易求出 f 再有 于是，f(0)存在?α 当α1时， limx→0β 因此，fx在x=0连续? 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续，其 二阶导函数f 则曲线y=f(x)的拐点个数为 A (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C 【解析】f(x)在(-∞,+∞)内连续，除点x=0外处处二阶可导。 y=f fx的零点有两个，如上图所示，A点两侧f(x)恒正，对应的点不是y=fx拐点 虽然f0不存在，但点x=0两侧f(x)异号，因而(0,f(0) 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数f(μ,ν)满足fx+y, (A)12,0 (C)-12 【答案】D 【解析】先求出f 令μ 于是 f 因此?f ?f 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分 (6)设D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x (A)π (B) (C) (D) 【答案】 B 【解析】D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=3x 围成的平面区域，作极坐标变换，将D D的极坐标表示为 π 因此 D 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。 (7)设矩阵A=11112a14a2,b= (A)a?Ω, (C)a∈Ω,d 【答案】D 【解析】Ax=b A是一个范德蒙德行列式，值为a-1(a-2),如果a?Ω， A≠0，rA=3， 类似的，若d?Ω，则rAb= 当a∈Ω,d∈Ω时，rAb 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。 (8)设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Py x= (A) 2y1 (C) 2y1 【答案】A 【解析】设二次型矩阵为A,则 P 可见e1,e2,e3都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是 Q 因此在正交变换x=Qy下的标准二次型 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。 二、填空题：(9~14)小题，每小题4分，共24分。 (9)设x=acr 【答案】48 【解析】由参数式求导法 dy 再由复合函数求导法则得 d2y =12t 综上所述，本题正确答案是48。 【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导 (10)函数fx=x2 【答案】n 【解析】 解法1 用求函数乘积的n阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。 f 其中Cnk=n f f 因此f 解法2 利用泰勒展开 f = 由于泰勒展开系数的唯一性，得ln 可得f 综上所述，本题正确答案是n 【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式 (11)设