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位 似（2） 湘教版数学九年级上册 本节内容 3.6 动脑筋 如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶点坐标分别为A（2，4），O（0，0），B（6，0）. 将各个顶点坐标分别扩大为原来的2倍，画出所得到的图形； （1） （2）以点O为位似中心，分别在线段OA， OB的延长线上取点 ， ，使 依次连接点 ， ，O ，画出所得到的 图形，你发现了什么？ 将各顶点的坐标分别都乘2，依次得点 （4，8）， O（0，0）， （12，0），如图，依次连接点 ， O， ，得到△ （1） (2)由图可知，△A′OB′与△AOB是以坐标原点O为位似中心，位似比为2的位似图形. 做一做 如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶点坐标分别为A（3，6），O（0，0），B（6，0）. 将各个顶点坐标分别缩小为原来的 ，画出所得到的图形； （1） （2）以点O为位似中心，分别在线段OA，OB上取点 ， ， 使 依次连接点 ，O， ，画出所得到 的图形，你发现了什么？ (2)由图可知，△A′OB′与△AOB是以坐标原点O为位似中心，位似比为 的位似图形. 将各顶点的坐标分别都乘以 ，依次得点 （1，2）， O（0，0）， （2，0），如图，依次连接点 ， O， ，得到△ （1） 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（6，2），以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ 2 4 6 8 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 -2 -4 -6 -8 O 10 12 -10 -12 A C B x y A B C A B C 解：位似变换后A，B，C的对应点为 A （ 4 ， 6 ），B （ 4 ，2 ），C （ 12 ， 4 ）； A （ －4 ，－6 ），B （-4 ， -2 ），C （-12 ，-4 ）． 对应点的坐标扩大了2倍(同向位似)或 -2倍(反向位似) 数学上可以证明，在平面直角坐标第中，一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形. 在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）。 结论 举 例 例 如下图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（4，2）， C（1，2）. 以坐标原点O为位似中心，将平行四边形OABC放大为原图形的3倍. 　　 将平行四边形OABC各顶点的坐标分别乘3， 得O（0，0）， （9，0），（12，6）， （3，6），依次连接点O， ， ，　， 则四边形　　　　即为所要求的图形，如图所示： 解： 本题还有其它方法吗？ 练习 　　　如图，已知正方形OABC的顶点坐标依次为 O（0,0）， A（3,0）， B （3,3）， C（0,3）. （1）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心， 将正方形OABC放大为原图形的2倍； （2）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心， 将正方形OABC缩小为原图形的 . 解： A B C A B C 3.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△ 是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上. （1）画出位似中心点O； （2）求出△ABC与△ 的位似比； （3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的 位似比等于1.5. （1）、（3）的解答如图2所示. （2）因为△ABC与△ 是位似图形，所以其位似比 实际上就是这两个三角形的相似比.又由勾股定理 可得：AC= ， ，所以 △ABC与△ 的位似比= = 1:2. 解 图2 图1 4. 5. 6.