映射和函数习题.docVIP

广 州 至 慧 教 育 学生姓名 就读年级 授课日期 教研院审核 【知识点回顾】 1.函数的概念 一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个（任意性）元素x，在集合B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y和它对应，这样的对应叫做集合A到集合B的一个函数（三性缺一不可） 函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应 这种“特殊对应”有何特点：1).可以是“一对一” 2).可以是“多对一” 3).不能“一对多” 4). A中不能有剩余元素 5).B中可以有剩余元素 判断两个函数相同：只看定义域和对应法则 2.映射的概念 一般地，设A、B是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。 思考：映射与函数区别与联系？ 函数——建立在两个非空数集上的特殊对应 映射——建立在两个非空集合上的特殊对应 1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射． 2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数． 3）映射与函数都是特殊的对应 思考：映射有“三性”： ①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射； ②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应； ③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的. 3.用映射定义函数 (1).函数的定义：如果A、B都是非空数集，那末A到B的映射f:A → B就叫做A → B的函数。记作：y=f (x). （2）定义域：原象集合A叫做函数y=f (x)的定义域。 （3）值域：象的集合C 叫做函数y=f (x)的值域。 定义：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A， b∈B。如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。 给定映射f：A→B。则集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一的象，而集合B中的元素在集合A中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。 问题1：下图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？ 答：发现规律：（1）对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象， 我们把这样的映射称为单射。 （2）集合B中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。 定义：一般地，设A、B是两个集合。f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一 一映射。 单射满射 单射 满射 一 一 一 映射 注意：1）一 一映射是一种特殊的映射：A到B是映射，B到A也是映射。 2）映射和一一映射之间的充要关系，映射是 一 一映射的必要而不充分条件 3）一 一映射： A和B中元素个数相等。 例2：判断下面的对应是否为映射 ，是否为一一映射？ 1）A={0,1,2,4,9},B={0,1,4,9,64},对应法则 f：a →b = (a-1)2 答：是映射，不是一一映射。（如右图所示可以很容易可能出。） 2）A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4},对应法则 f：求平方根 ？ 答：不是映射。 3）A=Z，B=N*，对应法则 f：求绝对值？ 答：不是映射。 4）A={11,16,20,21},B={6,2,4,0},对应法则 f：求被7除的余数 答：是映射，且是一一映射。 例3：已知集合Ａ＝Ｒ，Ｂ＝｛(x,y)|x,y∈Ｒ｝，f是从Ａ到Ｂ的映射f:x→(x+1,x2) . （１）求在B中的对应元素 （２）(2,1)在Ａ中的对应元素 解:（1）将x=代入对应关系，可得其在Ｂ中的对应元素为（+1，2） （2）由题意得： x+1=2 x2=1 ∴x=1 即（2,1）在A中的对应元素为1 例4：设集合A={a、b},B={c、d、e} （1）可建立从A到B的映射个数 . （2）可建立从B到A的映射个数 . 答：9,8（可以试着画图看看） 小结：如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集合A到集合B的映射共有 nm 个。 【映射例题精解】 例1在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？ 设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，对应