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线性规划 ——建模与求解 目录 线性规划问题 对偶规划问题 运输问题 指派问题 线性规划应用之一：DEA分析 线性规划应用值二：零和对策混合策略 附录 一、线性规划问题 问题提出 某食品公司雇佣了一家广告公司来帮助设计 全国性的促销活动，计划最多支付广告公司 服务酬金100万元，广告费用400万元。根 据该食品公司产品状况，广告公司确定了最 有效的三种广告媒体。 媒体1：星期六上午儿童节目的电视广告 媒体2：食品与家庭导向的杂志广告 媒体3：主要报纸星期天增刊上的广告 现在要解决的问题是如何确定各种广告活动的水平（levels）以取得最有效的广告组合（advertising mix）。相关数据如下： 问题分析与建模 本问题是一个典型的线性规划问题。 食品公司的最终目标是利润最大化，在本题中用单位贡献表示单位利润。 有目标函数为： Max z=130TV+60M+50SS 其中，TV、M、SS分别表示电视上的广告时段数、杂志上的广告数目和星期天增刊上的广告数目。 约束条件有三个： （1）广告总费用≤400万； （2）计划总成本≤100万； （3）总的电视广告时段数目≤5。 表示为： 300TV +150M +100SS ≤4000 90 TV +30 M +40 SS≤1000 TV ≤5 数学模型为： Max z=130TV+60M+50SS s.t. 300TV +150M +100SS ≤4000 90 TV +30 M +40 SS≤1000 TV ≤5 二、对偶规划问题 问题提出 某玻璃制品公司生产高质量的玻璃制 品，包括具有手艺和最精细工艺特性 的床和玻璃门。公司有三个工厂共同 生产窗和玻璃门，其中 工厂1：生产铝框和硬制件 工厂2：生产木框 工厂3：生产玻璃和组装窗和门 已知相关数据如下： 任务： （1）列出问题数学模型，求取总利润最大时的两种产品产量，并练习制作命令按钮； （2）当门和窗的单位利润分别在什么范围内变动时，公司的最优生产计划不变？ （3）如果改变一个工厂可用于生产新产品的生产时间，结果将如何？ （4）学会看灵敏度分析报告。 数学模型为： 运算结果报告解释 列出目标单元格和可变单元格以及它们的初始值、最终结果、约束条件和有关约束条件的信息。 其中，目标单元格和可变单元格是用其行和列命名的，约束单元格是用其列命名的。初值和终值分别指单元格在本次求解前的数值和求解后的数值。 敏感性报告解释 提供关于求解结果对“目标单元格”编辑框中所指定的公式的微小变化，以及约束条件的微小变化的敏感性信息。含有整数约束条件的模型不能生成本报告。对于非线性模型，此报告提供缩减梯度和拉格朗日乘数；对于线性模型，此报告中将包含递减成本、影子价格（机会成本）、目标系数(允许有小量增减额)以及右侧约束区域。 1）可变单元格一栏：当门和窗的单位利润分别在(300-300，300+450)和(500-300，+∞)之间变动时，最优解保持不变。 注意：①最优解不变，但最优目标函数值可能发生变化；②分别变动而不是同时变动，即固定其中一个，另一个可在适当范围内变动。 2）约束单元格一栏：阴影价格即运筹学中的影子价格，它是指资源每增加一个单位时目标函数的增量，即： 工厂1每周可用时间在[4-2，+∞]之间发生变化时，影子价格恒为0，对目标函数值无影响； 工厂2每周可用时间在[12-6，12+6]之间发生变化时，影子价格恒为150，即每增加一个单位可用时间，目标函数值就增加150， 工厂3每周可用时间在[18-6，18+6]之间发生变化时，影子价格恒为100，即每增加一个单位可用时间，目标函数值就增加100。 注意：此处也是分别变动，而不是同时变动。 极限值报告解释 延伸 下面对目标式系数同时变动以及约束限制值同时变动的情况分别作以延伸。 （1）目标式系数同时变动的百分之百法则（The 100 percent rule of simultaneous changes in objective function coefficients）： 如果目标函数系数同时变动，计算出每一系 数变动量占该系数同方向可容许变动范围的 百分比，而后将各个系数的变动百分比相加 ，如果所得的和不超过百分之