【恒心】高考数学(文科)传 奇逆袭013-选修4-5-不等式选讲.docVIP

选修4－5　不等式选讲 第一节绝对值不等式 1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． (2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集： 不等式 a0 a＝0 a0 |x|a (－a，a) ? ? |x|a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，－0)∪(0，＋∞) R (2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a－b0时，等号成立，对|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，如果a－b0当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时左边等号成立，当且仅当ab≤0时右边等号成立． 2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c0则不等式解集为R. [试一试] 1．已知不等式|2x－t|＋t－10的解集为(－eq \f(1,2)，eq \f(1,2))，求t的值． 解：|2x－t|1－t，t－12x－t1－t， 2t－12x1，t－eq \f(1,2)xeq \f(1,2)，∴t＝0. 2．设不等式|x＋1|－|x－2|k的解集为R，求实数k的取值范围． 解：法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于|PA|－|PB|k恒成立．∵|AB|＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k－3时，原不等式恒成立． 法二　令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3，x≤－1，,2x－1，－1x2,3，x≥2，,))，要使|x＋1|－|x－2|k恒成立，从图像中可以看出，只要k－3即可．故k的取值范围为k－3. 含绝对值不等式的常用解法 1．基本性质法：对a∈R＋，|x|a?－axa，|x|a?x－a或xa. 2．平方法：两边平方去掉绝对值符号． 3．零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解． 4．几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解． [练一练] 1．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6. 解：法一　分类讨论去绝对值号解不等式． 当xeq \f(1,2)时，原不等式转化为4x≤6?x≤eq \f(3,2)；当－eq \f(1,2)≤x≤eq \f(1,2)时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x－eq \f(1,2)时，原不等式转化为－4x≤6?x≥－eq \f(3,2).综上知，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)≤x≤\f(3,2))). 法二　利用几何意义求解． 原不等式可化为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤3，其几何意义为数轴上到eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝eq \f(3,2)或x＝－eq \f(3,2)时，到eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)两点的距离之和恰好为3，故当－eq \f(3,2)≤x≤eq \f(3,2)时，满足题意，则原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)≤x≤\f(3,2))). 2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围． 解：利用绝对值不等式的性质求解． ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解， 可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 考点一 绝对值不等式的解法 1.解不等式|x－2|－|x－