(教师版)考点专题二 平面向量与复数.docVIP

考点专题二 平面向量与复数（2） 【考情分析】 从近四年高考试卷分析来看，本专题知识理科每年考查1—2题，所占分值比例约为4.8%，难易度以容易题、中等题为主，文科每年考查1—2题，所占分值比例约为4.5%，难易度以容易题为主，此知识是高考中的必考内容. 此知识在近四年常以填空题、选择题、解答题的形式在高考题中出现，主要考查复数的四则运算，复平面等相关知识.复数在高考试卷中的考查形式比较单一. 【知识梳理】 [重难点] 1.复数的相等：两个复数，当且仅当且时，特别地，当且仅当时， 2. 复数的模：复数的模记作或，有 3. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.复数的共轭复数记作、互为共轭复数. 如果，则有的充要条件是是纯虚数的充要条件是且 4.复平面 在平面直角坐标系中，可以用点表示复数，建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面上，称、轴分别为实轴和虚轴，并且复数集和复平面内所有的点构成的集合建立一一对应关系. 5.实系数一元二次方程 实系数一元二次方程在复数集中恒有解，当判别式时，实系数一元二次方程且在复数集中有一对互相共轭的虚数根 [易错点] 1.在进行复数计算时，要灵活利用和的性质，会适当变形，创造条件，从而转化为关于和的计算问题，并注意以下结论的灵活运用： ①；②；③； ④， 2.在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当时不总是成立的：①为分数）；②；③，④ 【基础练习】 1. 若复数是纯虚数（是虚数单位，为实数），则 2.设为虚数单位），则复数的模为________.【答案】5（2013江苏） 3. 已知复数的共轭复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】的共轭复数，则，对应点的坐标为，故答案为D．（2013福建理） 4. 已知集合为虚数单位，，，则复数（ ） 解析：因为，，由，得，所以，所以 .答案： 【命题立意】知识：集合的运算和复数的运算.试题难度：较小.（2013江西理） 5. 若向量，满足，则与所成角的大小为________． 【答案】90°（2001上春） 6. 已知，且为虚数单位，则的最小值是( ) （A）. （B）. （C）. （D）.（2009上春） 7. “”是“实系数一元二次方程有虚根”的（ ） （A）必要不充分条件． （B）充分不必要条件． （C）充要条件． （D）既不充分也不必要条件． 解：由实系数一元二次方程有虚根,可得, 即可得,∵, ∴“”是“实系数一元二次方程有虚根”的必要不充分条件, 故应选A．（2009上文） 8. 设、是复数，则下列命题中的假命题是（ ）【答案】D（2013陕西理） 若，则 若，则 若，则 若，则 【解析】设若，则，，所以，故A项正确；若，则，所以，故B项正确；若，则，所以，故C项正确； 当时，可取，显然，即，假命题. 【例题精讲】 例1. 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求.（2011上） 解： 设，则， ∵ ，∴ 例2. 已知是复数，均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.（2005上春） 设，，由题意得 . 由题意得 . ∴ .∵ ， 根据条件，可知，解得 ，∴ 实数的取值范围是. 例3. 已知复数（、）(是虚数单位)是方程的根 ． 复数（）满足，求的取值范围 ．（2009上文） 解：原方程的根为 ． 例4. 对于复数，若集合具有性质“对任意，，必有”，则当时，等于（ ）（2010福建理） A.1 B.-1 C.0 D.i 解法1：由，得或.又由集合中元素的互异性知由，即，得或.（1）当时，，因为集合具有性质“对任意、，必有”，所以，故，.（2）当时，，因为集合具有性质“对任意、，必有”，所以，故，. 解法2：，或或或，又因为集合中的元素具有互异性，且对任意，，必有，所以或，所以． 点评：（1）本题涉及复数与集合等知识点，考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力，属于创新题型． （2）解法1步步为营，借助“分类讨论”求出不同情况下的