同济大学第六高等数学课后答案详解全集.docVIP

同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A=(-?, -5)?(5, +?), B=[-10, 3), 写出A?B, A?B, A\B及A\(A\B)的表达式. 2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A?B)C=AC ?BC . . 3. 设映射f : X ?Y, A?X, B?X . 证明 (1)f(A?B)=f(A)?f(B); (2)f(A?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X?Y, 若存在一个映射g: Y?X, 使, , 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个x?X, 有IX x=x; 对于每一个y?Y, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f -1. 5. 设映射f : X?Y, A?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A; (2)当f是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1);. (2); (3);(4);(5); (6) y=tan(x+1);(7) y=arcsin(x-3); (8);. (9) y=ln(x+1); (10). 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=; (3),. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x . 8. 设, 求, , , j(-2), 并作出函数y=j(x)的图形. . 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1), (-?, 1); (2)y=x+ln x, (0, +?). 10. 设 f(x)为定义在(-l, l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l, 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y=x2(1-x2); (2)y=3x2-x3; (3); (4)y=x(x-1)(x+1); (5)y=sin x-cos x+1; (6) 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y=cos(x-2);. (2)y=cos 4x; (3)y=1+sin px; (4)y=xcos x; (5)y=sin2x. 14. 求下列函数的反函数: (1) eq\r(3,x+1) eq\r(3,x+1) ; (2) eq\f(1-x,1+x) ;. (3)(ad-bc?0); . (4) y=2sin3x; . (5) y=1+ln(x+2); (6). 15. 设函数f(x)在数集X上有定义, 试证: 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界. 16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值: (1) y=u2, u=sin x, , ; (2) y=sin u, u=2x, ,;. (3), u=1+x2, x1=1, x2= 2;. (4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1; (5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=-1. 17. 设f(x)的定义域D=[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f(x2); . (2) f(sinx) (3) f(x+a)(a0);. (4) f(x+a)+f(x-a)(a?0). 18. 设, g(x)=ex eq\s\up(x) , 求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出这两个函数的图形. 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角j=40?(图1-37). 当过水断面ABCD的面积为定值S0时