易学通·重难点一本过高三数学 数列(人教版)：第三章 等比数列 Word版含解析.docVIP

第三章 等比数列 重点1：等比数列基本量的计算 【要点解读】 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量，便可迎刃而解. 3.未必成等比数列(例如：当公比为偶数时，不成等比数列；当为奇数时，成等比数列)，但等式(总成立. 4.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． (2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要． 【考向1】等比数列的判定与证明 【例题】【2016高考新课标3理数】已知数列 QUOTE QUOTE 的前n项和 QUOTE QUOTE ， QUOTE QUOTE 其中． （ = 1 \* ROMAN I）证明 QUOTE QUOTE 是等比数列，并求其通项公式； （ = 2 \* ROMAN II）若 QUOTE QUOTE ，求． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】（Ⅰ）由题意得，故，，． 由，得，即． 由，得，所以. 因此是首项为，公比为的等比数列，于是． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即， 解得． 【名师点睛】 1.等比数列的判定方法 (1)定义法： (常数) ?是等比数列； (2)等比中项法：时，?是比差数列； (3)通项公式法：是常数) ?是等比数列； 2.由，并不能立即断言为等比数列，还要验证. 【考向2】等比数列基本量的计算 【例题1】【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断考试】已知各项均为正数的等比数列满足，，则（ ） A． 4 B． 2 C． 1 D． 【答案】C 【例题2】【山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第二次联考】已知数列的前项和为，，则数列的前项和 . 【答案】 【名师点睛】 1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0. 2．在运用等比数列的前n项和公式时，必须对分类讨论，防止因忽略这一特殊情形导致解题失误． 【考向3】等比数列的性质 【例题】【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）】已知等比数列中, ,则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由等比数列的性质可知,而同号,故，所以. 【名师点睛】 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若，则”，可以减少运算量，提高解题速度. 2.等比数列的其它性质 （1） （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，…仍是等比数列，公比为. （3）当为奇数时，仍成等比数列，其公比为. 3.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用. 重点2：数学思想在等比数列中的应用 【要点解读】 1.函数的思想.（1）通项公式可化为，因此是关于的函数，即中的各项所表示的点在曲线x上，是一群孤立的点. （2）等比数列的单调性： 当时，数列是递增数列； 当时，数列是递减数列； 当时，数列是常数列. 2.分类讨论思想.当时，的前项和时，的前项和.等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论，此处是常考易错点. 3.方程思想：等比数列中有五个量，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解. 【考向】数学思想在等比数列中的应用 【例题1】【2016河北衡水中学高三一调，理】已知和分别为数列与数列的前项和，且，，，，则当取得最大值时，的值为（ ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】C 【例题2】【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考】定义：数列对一切正整数均满足，称数列为“凸数列”，以下关于“凸数列”的说法： ①等差数列一定是凸数列； ②首项，公比且的等比数列一定是凸数列； ③若数列为凸数列，则数列是单调递增数列； ④若数列为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列. 其中正确说法的序号是_____________. 【答案】②③④ 【例题3】【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】在数列中，已知，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，且数列的前项和为,若为数列中的最小项，求的取值范围． 【答案】（1）详见解析（2） 【解析】（1）∵,∴． 又，∴,故， 是以为首项，公