二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质—知识讲解(提高).docVIP

PAGE 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质—知识讲解（提高） 责编：常春芳 【学习目标】 1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验． 2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响． 3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型． 5.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系. 【要点梳理】 要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质 1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象 二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点. 2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法 描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线. （1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.） （2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确. （3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来. 要点诠释： （1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值. （2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数. （3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a＞0 向上 （0，0） y轴 x＞0时，y随x增大而增大； x＜0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a＜0 向下 （0，0） y轴 x＞0时，y随x增大而减小； x＜0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 要点二、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 （1） （2） 2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 3.二次函数与之间的关系 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象. 要点诠释： 抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同． 函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 【典型例题】 类型一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质 1．（2014?宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．） 【答案】C； 【解析】A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误； B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误； C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，