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汕头大学09-10学年春季学期《高等数学II》期末 考试试卷A参考答案及评分标准 开课单位 数学系 任课老师、评卷人 林小苹 谢长珍 任玉杰 熊成继 一、基本计算题（本大题共有4小题，每小题7分，共28分）。 1、计算对弧长的曲线积分，其中是点到点的直线段。 解：曲线的参数方程为。 （2分） 于是，代入得 （2分） （2分） （1分） 2、求曲线积分，其中是圆周逆时针方向的一周。 解：注意曲线的方向，利用Green公式得 （4分） 其中为圆，再用极坐标计算二重积分得 。 （3分） 注：此题也可象第1小题那样用参数方程，代入计算，分值也是2、2、2、1。 3、机械部件为空间曲面，它的面密度。求这个部件的总质量。 解：质量 （2分） 空间曲面在平面上的投影 (1分) 为，面积微元 ，代入得 （1分） （2分） 。 （1分） 4、设为柱面被平面及所截得的第一卦限内的部分，前侧（轴轴正向）为正，计算对坐标的曲面积分。 解：除这个柱面外，再加上四个平面：、、、， 它们围成立体，它的体积为。记它的外表面为，外侧为正。（2分） 利用Gauss公式得 。 （2分） 注意到上式左边可分成五个面上的积分，四个平面中只有上积 分不为零，等于。 （2分） 因此原积分等于。 （1分） 二、讨论题(本大题共有3小题, 每小题6分, 共18分)。 1、微分可能恰好是某个二元函数的全微分吗？如果是的话，求一个这样的函数并使得。 解：由知这个微分是全微分。 （3分） 于是。 （3分） 2、无穷级数是否收敛？如果收敛，它是条件收敛还是绝对收敛？ 解：在范围内，是正的增函数。因此原级数是交错级数，并且递减至零。由Leibniz判别法，原级数收敛。 （3分） 另一方面，因为发散，于是知原级数取绝对值后得到的级数发散。故原级数条件收敛。 （3分） 3、设是以为周期的函数，当时，。又设是的以为周 期的Fourier级数的和函数。试写出在上的表达式，并说明理由。 解：由Dirichlet定理，函数的Fourier级数在连续点收敛到原函数的值，在第一类间断点处收敛到左右极限和的一半。 （3分） 于是 。 （3分） 三、解答下列各题（本大题共有3小题, 每小题8分, 共24分）。 1、设有向量场，求它的散度和旋度，并计算这个向量场流向圆柱体的全表面外侧的通量。 解： （2分） （2分） 通量 (4分) 2、求半径为，中心角为的均匀圆弧（线密度）的质心。 解：设圆弧是圆上的一段，关于轴对称。用参数方程表达为 。 （3分） 由对称性得质心纵坐标。 （1分） 。 （4分） 3、求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数，并说明在该点处沿什么方向的方向导数最大，最大方向导数是多少。 解：求偏得:。 （2分） 单位方向向量为，得方向导数为。 （2分） 梯度为。 （2分） 沿方向时，方向导数得最大值为。 （2分） 四、在内把函数展开成以为周期的正弦级数。（本题10分） 解：将延拓为周期为2，区间上的奇函数， （2分） 显然，展开成正弦级数时，。 （2分） 。