《选修4-5不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案).docxVIP

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《选修4-5不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案).docx

选修4-5 不等式选讲 必威体育精装版考纲:1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:(1)|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R).(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-c|+|x-b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法. 1.含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|a(a0)?f(x)a或f(x)-a; (2)|f(x)|a(a0)?-af(x)a; (3)对形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c的不等式,可利用绝对值不等式的几何意义求解. 2.含有绝对值的不等式的性质 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. 问题探究:不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件分别是什么? 提示:不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≤0,左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|. 3.基本不等式 定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,等号成立. 定理2:如果a、b为正数,则eq \f(a+b,2)≥eq \r(ab),当且仅当a=b时,等号成立. 定理3:如果a、b、c为正数,则eq \f(a+b+c,3)≥eq \r(3,abc),当且仅当a=b=c时,等号成立. 定理4:(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数,则eq \f(a1+a2+…+an,n)≥eq \r(n,a1a2…an),当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立. 4.柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式:设a,b,c,d为实数,则(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立. (2)若ai,bi(i∈N*)为实数,则(eq \i\su(i=1,n,a)eq \o\al(2,i))(eq \i\su(i=1,n,b)eq \o\al(2,i))≥(eq \i\su(i=1,n,a)ibi)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. (3)柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α|·|β|≥|α·β|,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立. 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当ab0时等号成立.(  ) (2)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.(  ) (3)|ax+b|≤c(c0)的解等价于-c≤ax+b≤c.(  ) (4)不等式|x-1|+|x+2|2的解集为?.(  ) (5)若实数x、y适合不等式xy1,x+y-2,则x0,y0.(  ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 2.不等式|2x-1|-x1的解集是(  ) A.{x|0x2} B.{x|1x2} C.{x|0x1} D.{x|1x3} [解析] 解法一:x=1时,满足不等关系,排除C、D、B,故选A. 解法二:令f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x-1,x≥\f(1,2),,1-3x,x\f(1,2),))则f(x)1的解集为{x|0x2}. [答案] A 3.设|a|1,|b|1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 (  ) A.|a+b|+|a-b|2 B.|a+b|+|a-b|2 C.|a+b|+|a-b|=2 D.不能比较大小 [解析] |a+b|+|a-b|≤|2a [答案] B 4.若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则eq \r(a)+eq \r(b)+eq \r(c)的最大值为(  ) A.1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.2 [解析] (eq \r(a)+eq \r(b)+eq \r(c))2=(1×eq \r(a)+1×eq \r(b)+1×eq \r(c))2≤ (12+12+12)(a+b+c)=3. 当且仅当a=b=c=eq \f(1,3)时,等号成立. ∴(eq \r(a)+eq \r(b)+eq \r(c))2≤3. 故eq \r(a)+eq \r(b)+eq \r(c)的最大值为eq \r(3).故应选C. [答案] C 5.若存在实数

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