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空间几何体的内切球与外接球问题 1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) π C．8π D．4π [解析]　因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为2，所以正方体的外接球的半径为，所以球的表面积为4()2＝12 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA＝3，则V(　　) C．6π D. [解析]　当球与三侧面相切时，设球的半径为r，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴8－r＋6－r＝10，解得r＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r，则2r＝3，即r2＝球的最大半径为，故V的最大值为＝ 3.[2016·郑州模拟] 在ABCD中，∠CBA＝120，AD＝4，对角线BD＝2，将其沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为________． π；解析：因为∠CBA＝120，所以∠DAB＝60，在三角形ABD中，由余弦定理得(2)＝4＋AB－2×4·AB·，解得AB＝2，所以AB⊥BD.折起后平面ABD⊥平面BCD，即有AB⊥平面BCD，如图所示，可知A，B，C，D可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC就是四面体ABCD外接球的直径，易知AC＝＝2，所以球的体积为 4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S-ABC的体积的最大值为(　　) B. C．2 D．4 选A；[解析] (1)由于平面SAB⊥平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球的对称性可知，当S在“最高点”，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥S-ABC的体积最大． 因为△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r＝OC＝＝×2＝ 在中，OH＝＝， 所以SH＝＝1， 故所求体××22×1＝ 5.[2016·赣州模拟] 如图7-38-19所示，设A，B，C，D为球O上四点，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝，若AD＝R(R为球O的半径)，则球O的表面积为(　　) 图7-38-19 选D；解析：因为AB，AC，AD两两垂直，所以以AB，AC，AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB＝AC＝，所以AE＝，AD＝R，DE＝2R，则有R＋6＝(2R)，解得R＝，所以球的表面积S＝4＝8 6.[2016·安徽皖南八校三联] 如图所示，已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝，BC＝2，CD＝，O的表面积为(　　) ． [解析]　由AC⊥平面BCD，BC⊥CD知三棱锥A-BCD可以补成以AC，BC，CD为三条棱的长方体，设球O的半径为R，则有(2R)＝AC＋BC＋CD＝3＋4＋5＝12，所以S球＝4＝12 7．[2016·福建泉州质检] 已知A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60，且点O到平面ABC的距离为2，则球O的表面积为________． 　[解析] 在△ABC中用余弦定理求得AC＝，据勾股定理得∠BAC为直角，故BC的中点O即为△ABC所在小圆的圆心，则OO平面ABC，在直角三角形OO中可求得球的半径r＝，则球O的表面积S＝＝ 8. [2016·河南中原名校一联] 如图所示，ABCD-A是边长为1的正方体，S-ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为(　　) 图 A.π B.π C.π D.π 选D；[解析] 如图所示作辅助线，易知球心O在SG上，设OG＝x，则OB＝SO＝2－x，同时由正方体的性B1G1＝，则在中，由勾股定理得OB＝G＋OG，即(2－x)＝x＋，解得x＝，所以球的半径R＝2－＝，所以球的表面积S＝4＝ 9．[2013·课标全国]如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA为直角三角形，如图． BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R， 由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5， 所以球的体积为π×53＝π(cm3)，故选A项． 答案：A 10．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为(　　) A．