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复合函数习题.doc
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复合函数(讲义)
知识点睛
复合函数定义
若函数,,则称函数为复合
函数,其中为外层函数,g(x)为内层函数,u是中间变量.
复合函数定义域的求法
①若y=的定义域为[a,b],则复合函数的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集;
②若的定义域为[a,b],则函数y=的定义域即为x∈[a,b]时g(x)的取值范围.
注:同一对应法则f下的范围相同,即f (u)、f (g(x))、f (h(x))三个函数中,u,g(x),f (x)的范围相同.
复合函数的单调性
口诀:同增异减.
已知函数,则求其单调区间的一般步骤如下:
(1)确定定义域;
(2)将复合函数分解成:,;
(3)分别确定这两个函数的单调区间.
复合函数的奇偶性
口诀:有偶则偶,全奇为奇.即:
f (x)
g (x)
f (g(x))
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
精讲精练
(1)设函数f (x)=2x+3,g(x)=3x-5,则f (g(x))=____________,g(f (x))=____________;
(2)已知,则_________.
(1)设函数f (x)的定义域为,则函数的定义域为____________,函数的定义域为____________;
(2)若函数f (x+1)的定义域为,则函数f (2x-1)的定义域为___________,函数的定义域为___________;
(3)若函数的定义域为,则的定义域为____________;
(4)设,则的定义域为______.
求函数的值域:
(1);____________.
(2),;____________.
(3),;____________.
已知函数,当时有最小值,则a的值为____________.
如果函数(a0,且a≠1)在[-1,1]上有最大值14,则a的值为____________.
设,,函数有最大值,则不等式的解集为____________.
若函数在上是减函数,则的单调递增区间是____________.
直接写出下列函数的单调区间:
(1)函数的递增区间是____________;
(2)函数的单调递减区间是_________;
(3)函数的单调递减区间是____________;
(4)函数的单调减区间是______.
求下列函数的单调区间:
(1)函数的递减区间是____________;
(2)函数的递减区间是____________;
(3)函数的单调递增区间是________;
(4)函数的单调递增区间是_______.
已知f (x)=loga|x-1|在(0,1)上递减,那么f (x)在(1,+∞)上( )
A.递增无最大值 B.递减无最小值
C.递增有最大值 D.递减有最小值
已知函数在上是x的减函数,则a的取值范围是____________.
若函数在上是减函数,则实数a的取值范围是____________.
是否存在实数a,使函数f (x)=在区间上是增函数?如果存在,说明a可以取哪些值,如果不存在,请说明理由.
【参考答案】
(1)6x-7;6x+4;(2)x2+2x+3
(1)[-1,1];[4,9];(2);;
(3);(4)(-4,-1)∪(1,4)
(1)(-∞,-2);(2);(3)
16
或3
(2,3)
(1,+∞)
(1)(-∞,3);(2)(-∞,-1);
(3)(-∞,-2);(4)
(1)(-∞,-2),(-2,+∞);(2)(-2,2);
(3)(-1,1);(4)
A
(1,2]
(-8,-6]
a>1
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