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PAGE PAGE 13 高考压轴题-不等式证明方法 郑紫灵2012.12 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题。其中用的最多的是放缩法，而放缩法有四个最基本的 1.先求和再放缩。 （1）直接用等差或等比的求和公式求和 例1．求证 证明：。 （2）. 先裂项相消求和再放缩。 例2.求证 证明：。 例3．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 例4.求证 证明：令，通过比较系数得到a=b=1. ， 例5.求证 证明：令，通过比较系数得到a=1，b=2，c=3. 所以， 所以 例6.求证 证明：令，比较系数得到， ， 例7．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 例8.已知数列中，满足，， （1）求证：； （2）求证： 解： （1） ∵ ∴都大于0 ∴ ∴ （2） ∴ 所以 ∵, , 又∵ ∴ ∴ 2.添加或舍弃一些正项（或负项） 例9、已知求证： 分析：要证，即证， 缩小成一个等比数列求和，再放缩。 证明： 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简. 3.固定一部分项，放缩另外的项； 例10、求证： 证明： 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。 4.改变放缩的方式 例11. 已知数列中，证明： 放缩一： ＝ 点评：此种放缩为常规法，学生很容易想到，但需要保留前5项，从第6项开始放大，才能达到证题目的，这一点学生往往又想不到，或因意志力不坚强而放弃。需要保留前5项，说明放大的程度过大，能不能作一下调节？ 放缩二： 点评：此种方法放大幅度较（一）小，更接近于原式，只需保留前2项，从第3项开始放大，能较容易想到，还能再进一步逼近原式？ 放缩三： 本题点评：随着放缩程度的不同，前面需保留不动的项数也随着发生变化，放缩程度越小，精确度越高，保留不动的项数就越少，运算越简单，因此，用放缩法解题时，放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦。 一．逐一放缩法 例12.设，，，求证：。 二、利用函数单调性（导数）放缩(尤其是ln(x+1)x, lnxx-1，x+1ex) 例14.已知，，求证： 例15.已知，证明： 例17．（2008一模文21、理20）（本小题满分14分） 已知函数（为自然对数的底数）． （1）求函数的最小值； （2）若，证明：． 三、借助数列递推关系（迭代法） 例18.已知.证明：. 四．等特殊放缩法 奇巧积累: (1) ，或 ， 或. (2), 或, (3) 。 或 (4) (5) (6) (7) 例19.求证： 例20.求证： 五、先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例21．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2) 求证： 2．放缩后成等比数列，再求和 例22．（1）设,证明：； （2）等比数列中，，前项的和为，且成等差数列．设，数列前项的和为,证明： 3．放缩后为差比数列，再求和 例23．已知数列满足：，． 求证： 4．放缩后为裂项相消，再求和 例24. (1995年全国统一考试25) 设{an