含参函数单调性教学案例 修改稿.docVIP

含参函数单调性教学案例 河北省昌黎汇文二中 李建文 设计思路：本节课是学生学习了导数在研究函数中的应用《函数的单调性与导数》，基本掌握了利用导数知识判断函数的单调性及求函数的单调区间的方法，了解了导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具。为进一步加深对知识的理解和运用，设计一个微专题，对含有参数的函数的单调性问题进行多维探究，从对函数单调性研究，到已知函数单调性确定参数问题，来理解函数单调性与导数的关系，以及导数作为研究函数性质的工具性和重要性。 【典例1】已知函数,若函数是R上的增函数，求实数的取值范围； 【解析】由已知上恒成立 (方法一)==-a≥0a≤0 (方法二) 恒成立。而 变式1：函数不变，若函数在区间上为增函数，求的取值范围； 【解析】等价于在恒成立，即在恒成立，即的最小值3，所以的取值范围为 变式2：若函数在区间上为减函数，求的取值范围； 【解析】等价于在恒成立，即，由恒成立得，所以的取值范围为 变式3：若函数的单调递减区间为，求的值； 【解析】的两个根，即 所以. 变式4：若函数在区间上不单调，求的取值范围 【解析】等价于在有解且非偶次重根，从而，又时，，单调，从而的取值范围为。 变式5：讨论的单调性。 【解析】. 当时，，在R上单调递增； 当时，令，得；当或时，；当时，。 所以，在（）上为减函数，在（），上为增函数。 综上，时，在R上单调递增；时， 在（）上为减函数，在（），上为增函数。 【反思感悟】1、已知函数的单调性求参数的问题，通常转化为含参数的不等式恒成立问题，基本思想一是将参数视作常数直接求解，二是分离变量变为不含参数的间接求解，即转化为新产生的函数的“最值或值域”问题（本质是“确界”问题）。特别是超越函数，利用导数研究是很普遍的。 2、含参数的函数的单调性，通常归结为含参数不等式的解集问题，需要针对具体情况进行讨论，并始终要注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准。 【典例2】（感悟高考-2016全国Ⅰ卷21题第一问）已知函数. 讨论的单调性； 【解析】． （ i ）当时，则当时，；当时， 故函数在单调递减，在单调递增． （ ii ）当时，由，解得：或 ①若，即，则， 故在单调递增． ②若，即，则当时，；当时， 故函数在，单调递增；在单调递减． ③若，即，则当时，；当时，； 故函数在，单调递增；在单调递减． 【巩固练习】 1、若函数的单调减区间为，则 【答案】（转化为-1,2是导函数的两个零点，利用韦达定理即可求解） 2、已知函数（），在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。 【答案】 解析：，由已知，，解得. ，利用导数求单调区间进而求得.结合图象可知m的取值范围为. 3、（2016年高考新课标卷文科12题）若函数在单调递增，则的取值范围是 。 （A）（B）（C）（D） 【答案】C 解析：.由已知，须在R上恒成立，令，转化成在恒成立，即=恒成立，进而只需，解得，选C. 4、（2017全国Ⅲ卷11）已知函数有唯一零点，则a= A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】试题分析：函数的零点满足， 解法1、设，则， 当时，，当时，，函数 单调递减， 当时，，函数 单调递增， 时，函数取得最小值， ，当时，函数取得最小值-1， 若函数与函数没有交点， 若，时，函数与函数有一个交点，即.故选C. 解法2、令，则. 易知为偶函数，因为有唯一零点，.选C 5、（2016年山东高考）设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R. (Ⅰ)令g(x)=f(x)，求g(x)的单调区间； (Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围. 解析：(Ⅰ)由 可得， 则， 当时， 时，，函数单调递增； 当时， 时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减. 所以当时，函数单调递增区间为； 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，. ①当时，，单调递减. 所以当时，，单调递减. 当时，，单调递增. 所以在x=1处取得极小值，不合题意. ②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增， 可得当当时，，时，， 所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增， 所以在x=1处取得极小值，不合题意. ③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在 内单调递减， 所以当时，， 单调递减，不合题意. ④当时，即 ，当时，，单调递增, 当时，，单调递减， 所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a的取值范围为. 6、（2016年全国I卷高考）已知函数 QUOTE . (II)若 QUOTE 有两个零点，求的取值范围. 【解析】（Ⅱ）（i）当时，由（