九年级数学探究性数学题浙江版知识精讲...docVIP

九年级数学探究性数学题浙江版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 探究性数学题 二. 具体过程 （一）探究性数学题是中考中最热门的一种题型。题中或由于缺少一定的题设条件，或结论不明确使得思考方向难以确定。由于此类题的综合性较强，逻辑性要求又较高，所以能够较好地考查同学观察、分析、比较、归纳、猜想等多方面的能力。 探究性题中有很大一部分是以探求问题是否存在而设置的。求解此类问题，一般应先假设结论的存在，然后据此展开严密的推理论证。若推理的过程中不出现与已知条件的矛盾，则肯定假设的成立，否则应当否定假设，说明“不存在”。 【典型例题】 例1. 已知不等式的正整数解为1，2，3，4，试求m的取值范围。 解析：本例是要求通过已知的结论去探求条件的多种可能性。 ∵，∴ 又解集中的正整数解为，2，3，4， ∴，∴，∴。 例2. 定义实数x，y的一种新的运算规则。 当a，b，c为常数时，，且已知，。并且对于一切非零实数m和x，等式恒成立，你能确定m的值是多少吗？ 解：∵ 且，，∴ ∴ 又 ∴对于一切实数x恒成立 ∴ ∴。 例3. 两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA，放置如图1，其中，点B、A、D在同一条直线上， 操作：作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF于F，连结CE。 探究：线段BF、CE的关系并证明你的结论。 图1 图2 解析：操作如图2，探究的结果为：BF⊥CE并且。 证明的思路如下： 过点E作EG⊥CB，交CB的延长线于G，设BF、CE相交于H 由题意得△GCE与△BDF为等腰Rt△。 ∴可证得BF⊥CE且BF=。 注：探究两条线段之间的关系时，既要考虑它们的位置关系，又要考虑它们存在怎样的数量关系。 例4. 已知三点A、B、C在抛物线上，它们的坐标分别为A（m，），B（n，），C（t，），且，当时，并且对于一切实数t，不等式均成立，你能判断与m的大小吗？请说说你的理由。 解析：本题可运用“数形结合”的思想来判断。 ∵点A、B、C在抛物线上，且 ∴由非负数的性质，，， ∴ ∴ ∴m、n为方程的两个不相等的实根。 又时，，∴且。 但此时，∴，∴，∴。 注意到抛物线对称于直线，∴由图可知， 对称轴位于y轴的左侧、右侧或者与y轴重合时，均有。 ∴，∴。 例5. 如图，抛物线过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC。 ①求抛物线的对称轴，A、B、C三点的坐标以及抛物线的解析式； ②若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，问：是否存在等腰△PAB？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，否则，也请说明理由。 解析：①对称轴为直线，且A（-3，0），B（5，4），C（0，4） 抛物线为 ②设存在这样的点P，则设P（，y），。 则，，，∴应讨论求解。 （1）若。 则，解得。 （2）若PA=AB， 则，解得或（舍去） （3）若PA=AB，则， 解得或（舍去） 由（1）~（3）知：符合条件的点P共3个，它们是（，-1），（，），（，） 【模拟试题】（答题时间：45分钟） 1. 观察下列三角形数阵：，则第50行的最后一个数是 A. 1225 B. 1260 C. 1270 D. 1275 2. “一个奇数的平方减去1”，结果是个怎样的数？ 3. 四边形ABCD中，顺次连接四边中点E，F，G，H，便成一个新的四边形，请添加一个条件，使四边形EFGH成为菱形。 4. 一张透明的纸覆盖在△ABC上，把△ABC描下来，并把纸上的三角形绕着BC边的中点O旋转，探究旋转前后的两个三角形可组成什么图形？ 5. 如图，E，F在正方形ABCD的边BC和CD上，若∠EAF=，AG⊥EF于点Ｇ，则图中与ＡＧ的长相等的线段有哪些？为什么？ 6. 设，a为实数，且，你能求出多少个符合条件的整数b？说说你的理由。 7. 如果方程没有实数根，求证：。 8. 试在抛物线上找点p（x，y），其中，x，y均为整数，且点p在y的图象上，问：能找到这样的点p吗？有几个？ 9. 如图，矩形ABCD中，AB，E为AD中点，EF⊥CE，设，问：是否存在实数k，使得△AEF∽△BFC？若存在，求出k的值，否则，请说明理由。 试题答案 1. D 2. 是8的倍数的数 3. 添加：AC=BD 4. 从平面上看，组成一个平行四边形，从空间上看，形成一个等腰梯形。 5. 提示：可延长CB到H，使BH=DF，连AH，可证得△ADF△ABH， ∴AG=AB=CB=CD=AD。 6. b=-1，0，1，2，3，…，11共13个。提示：（）是一条开口向上，顶点为（，）的抛物线，又时，，∴时，，∴b取整数即可。 7. △，∴ ∴，∴ 8.