平行线分线段成比例培优.docVIP

PAGE PAGE 1 4.2平行线分线段成比例 知识梳理 平行线分线段成比例定理及其推论 平行线分线段成比例定理： 三条_________截两条直线， 所得的________线段的比________。 如下图，如果，则，，. 2. 平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_________.如图，在三角形中，如果，则 3. 平行的判定定理： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，那么这条直线 于三角形的第三边。如上图，如果有，那么∥ 。 专题讲解 专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 如图，，且,若，求的长。 如图，已知，若，，，求证：. 【巩固】如图，，，垂足分别为、，和 相交于点，，垂足为.证明：. 【巩固】如图，找出、、之间的关系，并证明你的结论. 如图，在梯形中，， ，过对角线交点作 交于，求的长。 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形中，，分别是的中点，交于，交于，求的长。 专题二、定理及推论与中点有关的问题 （1）如图（1），在中，是的中点，是上一点，且， 连接并延长，交的延长线于，则_______. （2）如图（2），已知中，，，与相交于， 则 的值为（ ）A. B.1 C. D.2 例4、如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点. （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）试猜想时的值，并证明你的猜想. 如图，是的中线，点在上，是延长线与的交点. （1）如果是的中点，求证：； （2）由（1）知，当是中点时，成立，若是上任意一点（与、 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由. 【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知中，是边上的中线，是 上的一点，且，延长交于。求证：。 （宁德市中考题）如图，中，为边的中点，延长至， 延长交的延长线于。若，求证:。 【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， 中， 若分别是的中点，则； 若分别是的中点，则； 若分别是的中点，则； ………… 若分别是的中点，则_________. 专题三、利用平行线转化比例 如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且 与、、、及的延长线分别相交于点、、、和. 求证： 【巩固】已知，如图，四边形，两组对边延长后交于、，对角线， 的延长线交于．求证：． 已知：为的中位线上任意一点，、的延长线分别交对 边、于、，求证： 在中，底边上的两点、把三等分，是上的中 线，、分别交于、两点，求证： 如图，、为边上的两点，且满足，一条 平行于的直线分别交、和的延长线于点、和. 求证：. 已知：如图，在梯形中，，是的中点，分别连 接、、、，且与交于点，与交于. （1）求证： （2）若,，求的长. 【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形中，， ,，若，且梯形与梯形的周长相 等，求的长。 （山东省竞赛题）如图，的对角线相交于点，在的延 长线上任取一点，连接交于点，若,求的值。 已知等腰直角中，、分别为直角边、上的点，且 ，过、分别作的垂线，交斜边于，． 求证：． 家庭作业 如已知，，求证：. 在中，，的延长线交的延长线于， 求证：. 如图，在的边上取一点，在取一点，使， 直线和的延长线相交于，求证：