根轨迹绘制规则——《自动控制原理-理论篇》第5.3节.pptVIP

* * * ? ? ? 例： 解： （舍） 0 -1 -2 重根数L的判别： ??? 从根轨迹图判别较容易，如： 根轨迹绘制规则 ? ? sf o o [规则8]起始（出射）角与终止（入射）角的计算公式为： 根轨迹绘制规则 出射角：开环共轭复极点处根轨迹的切线对正实轴的倾角。 0 切线 a)出射角 0 切线 b)入射角 入射角：开环共轭复零点处根轨迹的切线对正实轴的倾角。 例：已知： 求根轨迹。 σ jω o -1 ? 0 ? -3 ? -1+j ? -1-j z1 p1 p2 p3 p4 atan(0.5) 135° 同理 -1+j点的出射角为 -1-j点的出射角为 例：已知： 求根轨迹。 σ jω o -1 ? 0 ? -3 ? -1+j ? -1-j z1 p1 p2 p3 p4 atan(0.5) 135° 同理 -1+j点的出射角为 -1-j点的出射角为 [规则9]：根轨迹与虚轴上的交点对应的临界增益可用j?代入特征方程中求出或利用劳斯判据求出。 根轨迹绘制规则 已知 求与虚轴的交点及对应的临界k*。 解法2：劳斯阵列 s3 s2 s1 s0 1 4 0 5 k 0 (20-k)/5 0 k 例： 解： 系统稳定： 与虚轴相交时为出现为全零行时 根轨迹绘制规则 例：求图中根轨迹上点s1的k 解： ? ? o a c b s1 [规则11]： 若 n - m ? 2，则系统所有闭环特征根之和等于常数并等于开环特征根之和；若n m，则系统所有闭环特征根之积乘以 ????n 等于闭环特征方程常数项。 根轨迹绘制规则 设-pi为开环特征根,-qj为闭环特征根,则 注：该规则有两个作用： （1）定性判断根轨迹走向； （2）已知几个闭环根可求出其它一个或两个根。 因为闭环特征根之和为常数，所以对于n - m ? 2的系统，随k的变化，一部分根轨迹分支向左移动，另一部分将向右移动。 根轨迹绘制规则 思考题 按根轨迹绘制的规则，完整绘制k从0 到∞时，如下开环传递函数的闭环根轨迹图。 （1） （3） （2） （4） * * * 同理，反馈为正反馈时（上述为负反馈），有 相应的根轨迹为补根轨迹。 补根轨迹与根轨迹组成的完整曲线为全根轨迹。 * * * * * * * * 一个复杂系统的根轨迹图可能有一个以上的分离点，且这些分离点也不一定在实轴上，但由于根轨迹的对称性，这些分离点或位于实轴上，或出现在共轭复数对中。 如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，则这两个极点之间至少存在一个分离点。同样，如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（一个零点可位于无穷远处），那么这两个零点之间至少存在一个会合点。 * * 根轨迹绘制规则——《自动控制原理-理论篇》第5.3节 自动化工程学院自动控制原理课程组制 2015年11月 }根轨迹方程 闭环传函： 闭环特征方程： G(s) X(s) Y(s) - + H(s) 开环传函： 或 根轨迹方程 由根轨迹方程得： 可得两个条件方程： ?幅值条件方程(模相等)： 幅值和相角条件 ?相角条件方程(相角相等)： 幅值和相角条件 ?根轨迹上的点应同时满足上两个方程； ?相角条件方程与k无关，幅值方程才与k相关; ?相角条件是决定根轨迹的充要条件，s平面上一点s′若满足相角条件即为根轨迹上的一点; ?相角条件用来确定根轨迹点s = ? ? j? ; ?幅值条件用来确定对应的k。 幅值和相角条件 模值条件与相角条件的应用 -1.5 -1 -2 0.5 2.26 78.8o 2.11 2.61 127.53o 92.49o 2.072 k= 2.26×2.11×2.61 2.072 = 6 92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= –180o 66.27o 求模求角例题（补充） -1.09+j2.07 j 0 幅值条件与相角条件的应用 -1.5 -1 -2 0.5 -0.825 ζ=0.466 ω n=2.34 s1=-0.825 s2,3= -1.09±j2.07 -1.09+j2.07 2.26 66.27o 78.8o 2.11 2.61 127.53o 92.49o 2.072 K*= 2.26×2.11×2.61 2.072 = 6.0068 92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.5