推理与证明-泉州七中.DOCVIP

PAGE PAGE 5 《推理与证明》教案 泉州七中 赖呈杰 1.教学目标： 知识与技能目标： （1）了解归纳推理和类比推理的概念和作要，掌握归纳推理和类比推理的一般步骤，能利用归纳和类比进行一些简单的推理. （2）掌握直接证明和间接证明，以及会熟练应用数学归纳法． 过程与方法目标： （1）通过本节内容的学习进一步体会并认识如何利用合情推理去猜测和发现一些新事实，得出新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用。 （2）熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，培养学生观察、猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力 （3）培养学生的化归意识和知识迁移的能力 情感态度与价值目标： （1）通过学生主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生的数学应用意识； （2）通过学生自主参与，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度. 2.教学重难点： 重点：合情推理和演绎推理的方法； 难点：合情推理和演绎推理的含义和具体运用。 3.教学方法：讲练结合法。 4.教学过程： 我们知道，推理我们主要研究了合情推理与演绎推理，合情推理包括了归纳推理与类比推理，演绎推理主要是三段论。事实上我们每天都在推理，都在证明，如何运用好推理手段，来提高我们的复习效率，本节课通过几道例题，给同学们一个抛砖引玉的作用。 4.1：概念 ：推理包括合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理 4.1.1归纳推理：有某些事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理；即由部分到整体，由个别到一般的推理。 4.1.2类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理；即由特殊到特殊的推理。 注：合情推理未必是正确的推理。 4.2演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理。 大前提：M是P—— 大前提：M是P——已知的一般原理； 小前提：S是M.——所研究的特殊情况； 结 论：S是M.——根据一般原理，对特殊情况进行判断。 注：演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必然是正确的。 4.3：例题讲解 例1. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． （1）sin213°＋cos217°sin13°cos17° （2）sin215°＋cos215°sin15°cos15° （3）sin218°＋cos212°sin18°cos12° （4）sin2(－18°)＋cos248°sin(－18°)cos48° （5）sin2(－25°)＋cos255° sin(－25°)cos55° （Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； （Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：（Ⅰ）选择（2），计算如下：sin215°＋cos215°sin15°cos15°= （Ⅱ）三角恒等式为 证明如下： = 本题先用归纳推理的到结论，再用演绎推理进行严格的证明。 例2.五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________. 解析：本题考查化归思想、推理能力和运算能力，若从求解菲波那契数列的通项来解决，反而费时费力，若从合情推理的角度出发，通过有限项：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，……可归纳出从第五位同学开始其报的数被3除的余数为前两位同学所报之数被3除的余数之和，故是3的倍数，用数列表示甲同学依次报出的数，则，令则，即甲同学拍手红的总次数为5次。 例3对于等差数列有如下命题：“若是等差数列，是互不相等的正整数，则”类比此命题，给出等比数列相应的一个正确命题 解析：本题以数列为载体，通过类比推理，考查推理论证能力，在本题中， 由，消去，可得，即 类比得到，在等比数列中，，消去，可得，由等差数列 中有，类比得等比数列中，因此可得。 例4.已知展开式，对且恒成立，方程有无穷多个根：则，比较两边的系数可以推得.设代数方程有个不同的根：类比上述方法，可得 （用表示）. 解析：这是个方法的类比问题，由 ，比较两边的系数可以得到. ABAOBAxOBAyOBAF21F121例5.如图，