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第四讲 离散图像变换 3.2 二维离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换DCT (Discrete Cosine Transform) 是图像数据压缩中常用的一个变换编码方法。 任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项 ，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化傅里叶变换的重要方法。 3.2.1 一维离散余弦变换（DCT） 将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后进行傅里叶变换，我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。信号f(n)的离散余弦变换的定义式为： 式中 3.2.2 二维离散余弦变换（DCT2） 二维信号同样可以推出它的离散余弦变换 DCT逆变换为 这些函数被成为DCT的基本函数（图像）。一幅8×8的图像，是由64个基本图像的线性组合。 % DCT coefficient function close all clear all M=8;N=8; figure, number=1; for u=1:1:M for v=1:1:N for i=1:1:M for j=1:1:N f(i,j)=cos(pi/M.*(i+0.5).*(u-1)).*cos(pi/N.*(j+0.5).*(v-1)); end end I=mat2gray(f); subplot(M,N,number),imshow(I); number=number+1; end end 二维离散余弦变换的应用 DCT的典型应用是进行数据压缩编码，可以进行图像数据压缩，目前的国际压缩标准JPEG的格式中就应用了DCT变换。 DCT的MATLAB函数：dct2，idct2。 B=dct2(A); %A是M×N的矩阵，B是A的DCT系数，大小为M×N。 close all clear all f = zeros(10,10); f(2:2,1:10) = 1;f(5:5,1:10) = 1;f(8:8,1:10) = 1; imshow(f,notruesize) J = dct2(f)； figure, imshow(log(abs(J)),[],notruesize), J(abs(J)0.5) = 0 K = idct2(J); figure, imshow(K,[],notruesize) J(abs(J)1) = 0 K = idct2(J); figure, imshow(K,[],notruesize) f=imread(C:\MATLAB701\toolbox\images\icons\hand.gif); imshow(f,notruesize) J = dct2(I); figure, imshow(log(abs(J)),[]), colormap(jet(64)), colorbar J(abs(J)0.03e+003) = 0 K = idct2(J); figure, imshow(K,[],notruesize) 看MATLAB中的demo 3.3 二维离散沃尔什-哈达玛变换（DHT） 余弦型变换的基函数是余弦型函数。 沃尔什变换是由＋1或者－1的基本函数的级数展开而成的 ，它也满足完备正交特性 。由于沃尔什函数是二值正交函数，与数字逻辑中的二个状态相对应，因此它更适用于计算机技术、数字信号处理。 沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于快速计算，采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换，简称WHT或简称哈达玛变换。 3.3.1 哈达玛变换 我们定义元素仅由＋1和－1组成的正交方阵为哈达玛矩阵。所谓正交方阵，即指它的任意两行（或两列）都彼此正交，或者说它们对应元素之和为零。哈达玛变换要求图像的大小为N＝2n。 最低阶的哈达玛矩阵为: 高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得： N＝4的哈达玛矩阵为: 3.3.2 沃尔什变换 哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的。将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到的有序的变换就成为沃尔什（Walsh）变换。如N＝4时的矩阵： 沃尔什变换在图像处理中的应用 例1：一个二维数字图像信号矩阵为 该图像的的二维DWT：W=1/N2×GFG 例2：一幅均匀分布的数字图像 该图像的的二维DWT：W=1/N2×GFG 得到W后，可以通过公式F=GWG得到图像矩阵。 由此可看出，二维沃尔什变换具有能量集中的作用，而且，原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中